Unterräume

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16.11.2004, 20:04	schnuller	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterräume Also ich hab hier ne Aufgabe mit der ich überhaupt nicht klar komme obwohl ich die davor verstanden habe. Und zwar Ist $\begin{eqnarray} U=\{k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}\|k_{1}-k_{2}+3k_{3}-2k_{4}=0 \} \end{eqnarray}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray} \mathbb Q^{4} \end{eqnarray}$ ?
16.11.2004, 20:09	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du sollst also Zeigen/Widerlegen, dass U ein Unterraum ist. Was die denn die Axiome, die für einen Unterraum erfüllt sein müssen? Gruß Anirahtak
16.11.2004, 20:13	schnuller	Auf diesen Beitrag antworten »
ja also ich würde sagen dass es keiner ist weiß aber irgendwie nicht wie ich darauf komme und wie ich das denn aufschreibe... ich weiß nicht so richtig was axiome sind peinlichsei
16.11.2004, 20:15	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie habt ihr einen Unterraum denn definiert? Die Axiome sind die Bedingungen, die erfüllt sein müssen, dass es eben ein Unterraum ist.
16.11.2004, 20:26	schnuller	Auf diesen Beitrag antworten »
ok gut zu wissen... weil ich immer irgendwie keinen Plan hatte was das ist Also ein Unterraum ist es wenn gilt: 1. $\begin{eqnarray} \forall \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u,v\in U \end{eqnarray}$ gilt : $\begin{eqnarray} u-v\in U \end{eqnarray}$ 2 $\begin{eqnarray} \forall \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u\in U \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} ku\in U \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} 0\in U \end{eqnarray*}$
16.11.2004, 20:30	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast einfachstes ist 3. Ist das erfüllt? Das heißt, erfüllt der Vektor (0,0,0,0) die Eigenschaft, die den Unterraum charakterisiert? Bei 1. nimmst du zwei Vektoren v und u aus U. Dann bildest du die Differenz und überprüfst wieder, ob diese Gleichung k_1-k_2... erfüllt ist. Und 2. geht auch ähnlich. Wie weit kommst du denn? Gruß Anirahtak
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16.11.2004, 20:35	schnuller	Auf diesen Beitrag antworten »
Na das dritte ist erfüllt das hab ich schon... aber das erste dürfte eigentlich nicht erfüllt sein.. weil da bekommt man ja dann $\begin{eqnarray} k_{1}-v_{1},k_{2}-v_{2},k_{3}-v_{3},k_{4}-v_{4} \end{eqnarray}$ und das würde die bedingung eigentlich nicht erfüllen für den Unterraum... aber ich weiß nicht wie ich das aufschreiben soll oder erfüllt es die doch?
16.11.2004, 20:41	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Also du hast $\begin{eqnarray} v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3\\v_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u=\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3\\u_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ damit ergibt sich $\begin{eqnarray} v-u=\begin{pmatrix} v_1-u_1\\ v_2-u_2 \\ v_3-u_3\\v_4-u_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt musst du überprüfen, ob dieser Vektor in U ist, d.h ob $\begin{eqnarray} (v_1-u_1)-(v_2-u_2)+3(v_3-u_3)-2(v_4-u_4)=0 \end{eqnarray}$ Und, ist das der Fall???
16.11.2004, 20:45	schnuller	Auf diesen Beitrag antworten »
ja aber das genau weiß ich ja nicht... soweit hatte ich es schon ich weiß jetzt nur nich wie ich das zeigen soll ob oder ob es nicht in U
16.11.2004, 20:47	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt stell das doch mal so um, dass die v's und die u's beieinander stehen. Und dann benutze, dass ja u und v in dem Unterraum liegen.
16.11.2004, 20:58	schnuller	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja dann hab ich da jetzt $\begin{eqnarray} k_{1} - k_{2} + 3k_{3} - 2k_{4} = v_{1}+v_{2} - 3v_{3}+ 2v_{4} \end{eqnarray}$ Aber das ist doch nicht gleich... also ist es kein Unterraum
16.11.2004, 21:03	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Was du da geschrieben hast stimmt nicht so ganz: $\begin{eqnarray} (v_1-u_1)-(v_2-u_2)+3(v_3-u_3)-2(v_4-u_4)=(v_1-v_2+3v_3-2v_4)+(-u_1+u_2-3u_3+2u_4) \end{eqnarray}$ "Minus mal minus gibt plus" und so... Welchen Wert hat die erste Klammer, also $\begin{eqnarray} (v_1-v_2+3v_3-2v_4) \end{eqnarray}$ und welchen die zweite: $\begin{eqnarray} (-u_1+u_2-3u_3+2u_4) \end{eqnarray}$ Bei dir müsste rechts vom Gleichheitszeichen vor dem ersten Eintrag ein "-" stehen!
16.11.2004, 21:54	schnuller	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja hast recht.. Fehler von mir... man jetzt kann ich nicht einmal mehr das kleine einmal eins Also ist das doch nen Unterraum
16.11.2004, 22:11	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
So'n Rechenfehler passiert doch jedem mal! Ich hoffe dir ist jetzt klar, wie man an solche Aufgaben rangeht. Gruß Anirahtak
16.11.2004, 22:19	schnuller	Auf diesen Beitrag antworten »
ja dankeschön... jetzt ist mir das um einiges klarer ...

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