Cauchyscher Grenzwertsatz

16.11.2004, 21:33

Absturz

Cauchyscher Grenzwertsatz

Hallo!

Kann mir jemand helfen? Habe mir das heute drei Stunden angeschaut, in allen möglichen Büchern rungesucht, das Internet befragt und folgenden Beweis nicht hinbekommen:

Es seien $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge reeller Zahlen und

$\begin{eqnarray*} A_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n~a_k \end{eqnarray*}$

Man beweise: Konvergiert $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen a, so auch $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ .

Das ganze nennt sich Cauchyscher Grenzwertsatz.

Wäre echt super, wenn mir jemand helfen könnte.

16.11.2004, 22:48

Leopold

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http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=8886

16.11.2004, 23:50

Gast

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Zitat:

Original von Leopold
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=8886

Sorry, aber in dem Thread findet sich zwar die Behauptung aber sonst nur ziemlicher Unsinn...

16.11.2004, 23:52

WebFritzi

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Zitat:

Original von Gast

Zitat:

Original von Leopold
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=8886

Sorry, aber in dem Thread findet sich zwar die Behauptung aber sonst nur ziemlicher Unsinn...

Schau dir lieber mal den Thread bis zum Ende an, bevor du vorschnell urteilst.

17.11.2004, 00:33

Gast

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RE: Cauchyscher Grenzwertsatz
$\begin{eqnarray*} \end{align*} Sei $\epsilon>0$. Es gibt $n_1 \in \mathbb N$ mit $|a_n-a|<\frac{\epsilon}{2}$ für alle $n\geq n_1$. Weiter gibt es $n_0 \geq n_1$ mit \begin{align*}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n_1}|a_k-a|<\frac{\epsilon}{2}\end{align*} für alle $n\geq n_0$.\\ Für alle $n\geq n_0$ gilt somit: \begin{align*}|A_n-a|=\left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (a_k-a) \right| \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n |a_k-a| = \underbrace{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n_1}|a_k-a|}_{<\frac{\epsilon}{2}} + \underbrace{\frac{1}{n}\sum_{k=n_1+1}^n |a_k-a|}_{<\frac{\epsilon}{2}}<\epsilon \end{align*} \begin{align*} \end{eqnarray*}$

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Cauchyscher Grenzwertsatz

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