Summe der Stammbrüche (Lambacher Schweizer Folgen und Reihen S.14 Nr. 9)

16.11.2004, 22:29

fehler123

Summe der Stammbrüche (Lambacher Schweizer Folgen und Reihen S.14 Nr. 9)

Ich habe gerade in unserem Mathebuch folgende Aufgabe gefunden, die ich eigentlich recht interessant finde, aber teilweise nicht unbedingt weiter komme. Ich hoffe, es kann mir jemand weiterhelfen:

Gegeben ist die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
a) Zeigen Sie $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist monoton steigend
b) Berechnen Sie mithilfe eines Computerprogramms $\begin{eqnarray*} a_{100},a_{10000},a_{100000} \end{eqnarray*}$ und versuchen Sie eine Aussage über die Konvergenz der Folge zu machen.
c) Zeigen Sie, dass gilt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N^* \end{eqnarray*}$
d) Das Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ kann man in der Form schreiben $\begin{eqnarray*} a_n = 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + ({ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} }) + ({ \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \ldots + \frac{1}{16} }) + \ldots \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie mithilfe dieser Darstellung und der Aussage von Aufgabenteil c), dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht beschränkt ist. Was wissen Sie damit über die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ?

Jetzt mein Gedankengang:
a) kein Problem, z.z: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}>a_n \end{eqnarray*}$
b) Java Programm, auch kein Problem. Vermutung: divergent
c) Hier hab ich ein Problem. Erstens mal müsste es meiner Meinung heißen entweder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N^*\setminus \{ 1 \} \end{eqnarray*}$ , denn für n=1 ist: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und damit ist die Aussage für dieses n falsch.
Ich habe nun versucht, diese Aussage mithilfe vollständiger Induktion zu zeigen. Dies ist mir dann auch gelungen, allerdings muss es auch eine andere Möglichkeit geben, dies zu zeigen, denn zu diesem Zeitpunkt ist in dem Buch die Induktion noch nicht behandelt worden. Vielleicht hat mir ja jemand einen Tip.
d) beispielsweise die Summe $\begin{eqnarray*} a_16 = 1 + \frac{1}{2} + ( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} ) + ( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} ) + ( \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \ldots + \frac{1}{16} ) = 1 + \frac{1}{1+1} + ( \frac{1}{2+1} + \ldots + \frac{1}{2*2} ) + ( \frac{1}{4+1} + \ldots + \frac{1}{2*4} ) + ( \frac{1}{8+1} + \ldots + \frac{1}{2*8} ) \end{eqnarray*}$ Mit Hilfe der Aussage von c) gilt also $\begin{eqnarray*} a_16 > 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{4}{2} \end{eqnarray*}$ .
Allgemein also $\begin{eqnarray*} a_n > 1 + \frac{[\log_2 n]}{2} \end{eqnarray*}$ . Jetzt müsste man noch zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (\log_2 n) \end{eqnarray*}$ divergent ist und kann damit auf die Divergenz von $\begin{eqnarray*} {a_n} \end{eqnarray*}$ schließen.

Wie ihr seht, hab ich also Probleme mit der c) und die d) ist auch nicht ganz wasserdicht. Ich bin für jegliche Hilfe dankbar. felix

16.11.2004, 22:41

Leopold

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RE: Summe der Stammbrüche (Lambacher Schweizer Folgen und Reihen S.14 Nr. 9)

Zitat:

Original von fehler123
c) Hier hab ich ein Problem. Erstens mal müsste es meiner Meinung heißen entweder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N^*\setminus \{ 1 \} \end{eqnarray*}$ , denn für n=1 ist: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und damit ist die Aussage für dieses n falsch.

Sehr scharf bemerkt! Die Aussage gilt in der Tat erst für n>1, oder, wenn man sie für n>0 ausspricht, muß man "größer gleich" statt "größer" schreiben.

Die Aussage c) kann man tatsächlich ohne Induktion beweisen.
Eine Summe wird kleiner, wenn man jeden Summanden verkleinert. Und hier wird jeder Summand durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ nach unten abgeschätzt (ein Bruch mit konstantem Zähler wird kleiner, wenn man den Nenner vergrößert):

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n} + ... + \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

Und jetzt mußt du nur noch zählen, wie viele Summanden es von $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ sind.

Wenn dich Fragen zu diesem Themenkomplex interessieren, so gehe doch einmal bei SUCHEN auf "harmonische Reihe" oder google unter diesem Begriff.

16.11.2004, 22:52

fehler123

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Okay, dies sind also $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Summanden. Es gilt also, jeder Summand ist $\begin{eqnarray*} \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Damit ist diese Summe $\begin{eqnarray*} \geq \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Sehr schön, dann ist mir das nun auch klar. Dass es so einfach geht, hätte ich nicht gedacht. Vielen Dank. Bin ich bei der d) auf dem richtigen Weg (wüsste nicht, warum nicht). Nur ist jetzt noch die Frage, wie ich formal die Divergenz von $\begin{eqnarray*} ([log_2 n]) \end{eqnarray*}$ nachweise. Vielen Dank nochmals.

16.11.2004, 22:53

fehler123

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werd ich machen und soll natürlich heißen, jeder Summand $\begin{eqnarray*} \geq \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

16.11.2004, 23:18

WebFritzi

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RE: Summe der Stammbrüche (Lambacher Schweizer Folgen und Reihen S.14 Nr. 9)
$\begin{eqnarray*} a_n > 1 + \frac{[\log_2 n]}{2} \end{eqnarray*}$

Genau. Also

$\begin{eqnarray*} a_{2^k} > 1 + \frac{\log_2(2^k)}{2} = 1 + \frac k 2\;. \end{eqnarray*}$

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