Krümmungsverhalten |
| 17.11.2004, 16:17 | d-star | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Krümmungsverhalten Krümmungsverhalten, kann bestimmt werden durch die zweite Ableitung. die zweite Ableitung lautet: (8x-8) / (x-1)^4 Wenn ich die zweite Ableitung kleiner bzw. größer Null setze, soll ich rausbekommen, wie der Graph in den gewonnenen Intervallen gekrümmt ist. Das verstehe ich nicht. Also, wie kann ich das lösen? Ich setze normalerweise immer drei oder vier Werte ein, und leite daraus dann das Ergebnis ab - aber das kanns ja ned sein. Wie löse ich Professionel eine solche Ungleichung? Wäre für einen Tipp sehr dankbar grüße |
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| 17.11.2004, 16:31 | hummma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schau erstmal wo die Funktion vorzeichenwechsel hat und ueberleg dir dann welches Vorzeichen die Funktion zwischen zwei wechseln hat. Hier ist der Vorzeichenwechel nur die Nullstelle, weil im nenner ein gerader Exponent steht und der Pol bei x=1 ohne Vorzeichenwechsel ist. |
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| 17.11.2004, 16:33 | Jan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das ganze ist hier relativ einfach. der nenner ist positiv für alle reellen zahlen (weil es eine potenz mit geradem exponenten ist). der ganze quotient ist also positiv, wenn der zähler positiv ist ("plus" durch "plus" gleich "plus") und negativ, wenn der zähler negativ ist ("minus" durch "plus" gleich "minus"). der zähler ist positiv für x > 1, d.h. f''(x) > 0 für x > 1. hier ist der graph also linksgekrümmt. der zähler ist negativ für x < 1, d.h. f''(x) < 0 für x < 1. hier ist der graph also rechtsgekrümmt. |
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| 17.11.2004, 16:42 | d-star | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Jan das habe ich kapiert! @hummma: das habe ich nicht kapiert. Gibt es was allgemeines? Bzg. dem lösen von Ungleichungen? das checke ich ned. |
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| 17.11.2004, 16:45 | d-star | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Noch ne Frage: In der Intervallschreibweise würde es dann so aussehen, oder? ]-unendlich;+1[ : f''(x) < 0; d.h. rechtsgekrümmt ]+1;+unendlich[ : f''(x) > 0; d.h. linksgekrümmt |
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| 17.11.2004, 16:50 | Jan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
allgemein hat das mit ungleichungen eigentlich gar nicht viel zu tun. du suchst dir zunächst die stellen raus, wo die 2. ableitung ihr vorzeichen wechselt, und das sind ihre nullstellen (also die wendestellen) oder polstellen (so wie bei deiner aufgabe hier). zwischen diesen stellen ändert sich das krümmungsverhalten nicht, da kannst du sicher sein. und jedes von den so entstandenen intervallen untersuchst du dann einzeln, und zwar einfach so, dass du einen beliebigen wert, der in diesem intervall liegt, einsetzt. ist das ergebnis positiv, dann gilt das auch für alle anderen x-werte aus dem intervall. ist es negativ, dann auch. |
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| 17.11.2004, 16:52 | Jan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, sieht gut aus... |
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| 17.11.2004, 17:36 | hummma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da musst eigentlich nix kapieren. Ich zeigs dir mal an nem Beispiell: (x+2)(x-2)(x+4)>0 Des siehst du als funktion f(x)= (x+2)(x-2)(x+4) Das ist der Graph dazu: Die Funktion wechselt immer bei den Nullstellen ihr vorzeichen und dann schaust halt zwischen welchen Nullstellen sie positiv ist. Und dann siehst du doch sofort dass die Loesungsmenge fuer die Obere Gleichung xE [-4;2] und x>2 ist. |
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