L'Hospital klappt nicht

10.04.2007, 10:33

donvito

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L'Hospital klappt nicht

Also ich habe hier eine Klausuraufgabe ohne Lösung. Komme dabei aber irgendwie nicht zum Ziel... $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{cos(x)-1}{sin(x^2)} = \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$

Also darf ich l'Hospital anwenden.

Das führt bei mir nach 2maliger Anwendung zu
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{-cos(x)}{-4x^2 \cdot sin(x^2)+x^2 \cdot cos(x^2)} = \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$

Habe auch brav Produkt- und Kettenregel angewendet! Was heißt denn das jetzt auf Deutsch? Division durch Null??? Was ist der Grenzwert? Oder hat das Ding an der STelle ne Definitionslücke und daher garkeinen Grenzwert?

10.04.2007, 10:35

tigerbine

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RE: L'Hospital klappt nicht
Mal ohne nachzurechnen, wie siet es denn z.b. hiermit aus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Funktion hat bei 0 auch eine Definitionslücke, aber den Grenzwert solltest du eigentlich kennen.

10.04.2007, 10:40

donvito

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kenne ich aber nicht böse

böse

Ist der Grenzwert dann unendlich oder =0 ?

10.04.2007, 10:42

tigerbine

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du kennst diese Funktion nicht? verwirrt

verwirrt

wie hast du denn jemals gebrochen rationale Funktionen diskutiert. Oder habt ihr das auch nicht gemacht?

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+}~\frac{1}{x} = +\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0-}~\frac{1}{x} = -\infty \end{eqnarray*}$

10.04.2007, 10:45

AD

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@vitocorleone

Einfach nochmal nachrechnen, dann kommt man bei zweimaligen L'Hospital zu

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0} \frac{\cos(x)-1}{\sin(x^2)} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{-\sin(x)}{2x\cos(x^2)} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{-\cos(x)}{-4x^2\sin(x^2)+2\cos(x^2)} \end{eqnarray*}$ .

10.04.2007, 10:54

donvito

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Das wäre dann aber ein Widerspuch zu dem was tigerbine sagte... Denn dann hätte ich ja den Grenzwert 1!

Klar haben wir das mal gemacht, aber mir war jetzt nicht ganz klar, dass der Grenzwert dann gegen unendlich geht obwohl die Fkt. da nicht definiert ist. Danke!

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10.04.2007, 11:00

AD

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Da sehe ich keinen Widerspruch, denn ich bin auf tigerbines Erörterungen überhaupt nicht eingegangen. Ich dachte nur, es geht um den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0} \frac{\cos(x)-1}{\sin(x^2)} \end{eqnarray*}$ , aber wenn ihr lieber andere Grenzwerte diskutieren wollt ... smile

smile

10.04.2007, 11:00

tigerbine

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Nein, wir haben keinen Widerspruch zu dem was ich gesagt habe. Ich habe deutlich gesagt, dass ich deinen L'hospital nicht nachgerechnet habe.

Ich wollte nur auf die Frage, was passiert, wenn im Nenner der Grenzwert 0 wird eingehen, dass das nicht zwangsläufig bedeuten muss, das L'Hopital nicht geklappt hat. Dazu sollte die Beispielfunktion dienen. smile

smile

Dank Arthurs Nachrechnen tritt der Fall hier nicht auf, aber Du solltest dir das Beispiel dennoch merken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.04.2007, 11:05

donvito

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Aaaaber,

Die Funktion hat doch auch eine Definitionslücke, sin(x^2) ist doch auch = 0. Es gibt also auch Funktionen, die trotz DEfinitionslücke einen festen Grenzwert haben. Verwundert mich jetzt nur etwas.

10.04.2007, 11:11

tigerbine

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Was ist daran verwunderlich? verwirrt

verwirrt

Vielleicht versteht Du Du hier aber auch das Symbol $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ nicht.

aber nur weil eine Definitionlücke vorliegt, muss der Grenzwert nicht "unendlich " sein. Wieder hole ich eine andere Funktion in den Thread Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2}{x} \end{eqnarray*}$

Diese Definitionslücke ist stetig behebbar und es gilt (z.B. mit L'hospital Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} ~f(x) =\lim_{x \to 0+} = 0 \end{eqnarray*}$

10.04.2007, 11:16

Toxman

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Ist der Grenzwert dann nicht eher -1/2? oben gehts gegen -cos(0)=-1, der erste Term unten mit Sinus geht gegen null und der zweite dann gegen 2*cos(0)=2.

10.04.2007, 11:21

tigerbine

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@Toxman:
Wo steht etwas anderes?

10.04.2007, 11:42

Toxman

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Hier:

Zitat:

Das wäre dann aber ein Widerspuch zu dem was tigerbine sagte... Denn dann hätte ich ja den Grenzwert 1!

10.04.2007, 11:47

tigerbine

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Donvito's L'hopital war falsch gerechnet. Siehe Arthur und damit auch den richtigen Grenzwert. Meine Bemerkung bezog sich unter der Annahame, es wurde richtig gerechnet, nur auf den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$

10.04.2007, 11:54

Toxman

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Ich habe donvito so verstanden, dass er den richtige hospital von Arthur falsch ausgewertet hat. Aber da jetzt alle die richtige Lösung haben, ist's ja eigentlich egal.

10.04.2007, 11:56

sqrt4

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Habe zwar nicht alles durchgelesen, aber wie wärs mit der Umformung.

$\begin{eqnarray*} \frac{cos(x)-1}{(sin(x))^2}=-\frac{1-cos(x)}{1-(cos(x))^2}=-\frac{1}{1+cos(x)} \end{eqnarray*}$

Edit: lol wer lesen kann ist klar im Vorteil. Da steht $\begin{eqnarray*} sin(x^2) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} (sinx)^2 \end{eqnarray*}$ sry!

10.04.2007, 12:01

Leopold

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Man kann das auch auf den elementaren (?) trigonometrischen Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1 \end{eqnarray*}$

zurückführen.

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos{x} - 1}{\sin{(x^2)}} = \frac{- \sin^2{x}}{\sin{(x^2)}} \cdot \frac{1}{1 + \cos{x}} = \frac{- \left( \frac{\sin{x}}{x} \right)^2}{\frac{\sin{(x^2)}}{x^2}} \cdot \frac{1}{1 + \cos{x}} \end{eqnarray*}$

Beim ersten Gleichheitszeichen wurde der trigonometrische Pythagoras verwendet. Der Rest sollte klar sein.

10.04.2007, 12:26

donvito

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Mathematiker sind echt schlimm Big Laugh

Big Laugh

Anstatt sich mal mit einer gefundenen Lösung zufriedenzugeben machen sie alles noch schlimmer böse

böse

10.04.2007, 12:31

tigerbine

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Und Informatiker scheinen überfordert zu sein, wenn zwischen 1 und 0 ein Bruchstrich steht Big Laugh

Big Laugh

10.04.2007, 12:37

donvito

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There are ten kinds of humans: those who understand binaries and those who don't LOL Hammer

LOL Hammer

10.04.2007, 13:09

AD

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Jetzt hast du zu allem Überfluss auch noch den Witz versemmelt - wenn schon, dann

"There are 10 kinds of..."
Mit "ten" statt "10" klappt der Witz nicht. LOL Hammer

LOL Hammer

Bleib lieber im Mafiagewerbe... Big Laugh

Big Laugh

10.04.2007, 13:17

donvito

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Wie peinlich! Habe mir das von eiiner Seite kopiert, da ich die genaue Formulierung nicht mehr wußte Big Laugh

Big Laugh

Hammer

Das mit der Mafia werde ich mal in Ruhe überlegen...

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