Grenzwert von x_n und x_(n+1)

17.11.2004, 17:14

awie

Grenzwert von x_n und x_(n+1)

Hallihallo, ich hab da mal ne Frage *g*

Also wir haben in der Uni folgende Aufgabe zu lösen:

Sei $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n = a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ ungleich Null, für alle n.

Was ist dann $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{x_{n+1}} \end{eqnarray*}$ ?

Also ich hab das nun mal ausprobiert ;-)

Die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich konvergent, da sie ja einen Grenzwert hat.

Nach lauter eingesetzten Beispielen, erhalte ich für $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{x_{n+1}} \end{eqnarray*}$ mal so ganz spontan 1.

Mach ich das also mal zur Behauptung, muss ich ja zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{x_{n+1}} = 1 \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}<br /> x_{n+1} \end{eqnarray*}$

Joah... und da hört's dan eigentlich auch schon auf LOL
Also Teilfolgen konvergieren ja gegen den gleichen Wert wie die Folge selber. Kann ich sagen, dass $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (x_{n+1}) \end{eqnarray*}$ ist und der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ also der gleiche wie der von $\begin{eqnarray*} (x_{n+1}) \end{eqnarray*}$ ist?

na ja, nur so ne Idee, ne... wenn mir jemand weiterhelfen könnte, wär ich recht dankbar!

LG

17.11.2004, 18:09

Kali

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Ich würde sagen das die Folge sich erstmal dem Absolutbetrag von 1 annähert wobei ja nicht gesagt ist ob die Folge sich linksseitig oder rechtsseitig stetig verhält.
Was ich damit meine ist z.B.

ich habe eine folge die sich in diese Weise ( in dem Fall 0) nähert:

x1= 10
x2=-9
x3=8
x4=-7

usw...

wenn das bei deiner folge auch der Fall wäre würde sich die Folge ( je nachdem welchen Wert a nun hat) z.B. auch -1 nähern können

17.11.2004, 21:45

awie

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Jo, ist mir auch schon in den Sinn gekommen... aber dann hab ich ehlrich gesagt überhaupt keine Ahnung mehr wie ich das nun anstellen soll *hilfe*

LG

17.11.2004, 22:32

yeti777

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RE: Grenzwert von x_n und x_(n+1)
Hallo awie!

Also, ich würde so argumentieren. Sei (x_n) eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a und x_n <> 0 für alle n € |N, dh. limes x_n = a für n --> unendlich. Das bedeutet doch, dass sich für jedes beliebige epsilon>0 unendlich viele Glieder der Folge (x_n) in der epsilon-Umgebung von a befinden und nur endlich viele ausserhalb davon. Wenn man jetzt den Index um 1 verschiebt, ändert sich nichts an dieser Tatsache, m.a.W. es kommt nur auf den Schwanz der Folge an, nicht auf den Anfang. Deshalb ist limes x_n+1 ebenfalls = a (sorry, beherrsche Latex nicht Hammer

.
Mit den limes-Regeln (Grenzwertsätzen) folgt nun:
limes (x_n/x_n+1) = limes(x_n)/limes(x_n+1) = a/a = 1.
(Ich hoffe, dass man die limes-Regeln nicht auch noch beweisen muss)

Gruss yeti

17.11.2004, 22:43

Ben Sisko

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RE: Grenzwert von x_n und x_(n+1)
Hallo yeti,

was hast du der Folge $\begin{eqnarray*} x_n=(-1)^n\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ entgegenzusetzen? Augenzwinkern

Gruß vom Ben

18.11.2004, 10:47

Elvis

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RE: Grenzwert von x_n und x_(n+1)
Guck Dir die Grenzwertsätze und deren Voraussetzungen mal genau an!!!

18.11.2004, 11:01

OMEK

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alos nach l'hospital ist die lösung 1

18.11.2004, 11:11

Elvis

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Zitat:

Original von OMEK
alos nach l'hospital ist die lösung 1

Wo ist denn hier ne diffbare Funktion im Spiel?
L'Hospital hat bei diesem Geschäft nichts verloren!

18.11.2004, 15:34

awie

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RE: Grenzwert von x_n und x_(n+1)
Danke schonmal für eure Antworten. Irgendwie... ist mir das alles noch nicht ganz klar. Ich weiß dass -1 und 1 rauskommen kann (in der PRAXIS) aber theoretisch? *g*

Ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ denn keine Teilfolge von $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ??? sonst hätten sie doch den gleichen Grenzwert, was ja hier offensichtlich nicht der Fall ist. Hmm... Ich bin glaube ich n bißl zu doof dafür LOL

Zitat:

Original von Elvis
Guck Dir die Grenzwertsätze und deren Voraussetzungen mal genau an!!!

hmm... welche Grenzwertsätze meinst du?

LG

18.11.2004, 17:00

Elvis

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RE: Grenzwert von x_n und x_(n+1)

Zitat:

Original von awie

Zitat:

Original von Elvis
Guck Dir die Grenzwertsätze und deren Voraussetzungen mal genau an!!!

hmm... welche Grenzwertsätze meinst du?

LG