Reihen

17.11.2004, 19:20

binemaja512

Reihen

Ich hab hier ein Problem beim Rechnen mit Reihen. Ich weiß zwar wie es geht, aber nicht wie ich es genau aufschreiben soll.

Die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~a_k=\alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~b_k= \beta \end{eqnarray*}$

Zeigen oder widerlegen Sie:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~(a_k*b_k)= \alpha*\beta \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass ich es widerlegen muss, weil
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~(a_k*b_k)=a_0*b_0+a_1*b_1+...+a_\infty *b_\infty \end{eqnarray*}$

Und wie genau kann ich das jetzt damit widerlegen?
Danke für Eure Hilfe!

Bine

17.11.2004, 19:29

WebFritzi

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Nimm z.B.

$\begin{eqnarray*} a_k = b_k = (-1)^k\frac 1 {\sqrt{k}}\;. \end{eqnarray*}$

17.11.2004, 22:03

etzwane

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Ausmultiplizieren hilft vielleicht weiter:

alfa = a0+a1+a2+a3+.....
beta = b0+b1+b2+b3+.....

alfa*beta = (a0+a1+a2+a3+...)*(b0+b1+b2+b3+...)

alfa*beta = (a0*b0 + a0*b1 + a0*b2 + a0*b3 + ...) + (a1*b0 + a1*b1 + a1*b2 + a1*b3 + ...) + (a2*b0 + a2*b1 + a2*b2 + a2*b3 + ...) + (a3*b0 + a3*b1 + a3*b2 + a3*b3 + ...)

alfa*beta = a0*b0 + a0*b1 + a1*b0 + a1*b1 + a0*b2 + a1*b2 + a2*b1 + a2*b2 + ....

und man sieht jetzt schon, dies ist ungleich a0*b0 + a1*b1 + a2*b2 +...

18.11.2004, 11:19

JochenX

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als kleiner hinweis noch von mir noch, bine:
eine unendliche summe hat kein letzes folgenglied, d.h. es existiert kein a_unendlich...
so etwas ist für den beweis nicht problematisch, aber es sieht einfach nicht gut aus......

mfg jochen

18.11.2004, 11:29

Rex Krämer

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RE: Reihen
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k}=2 \end{eqnarray*}$

Aber gilt auch:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{4^k}=4? \end{eqnarray*}$

18.11.2004, 14:12

JochenX

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nein sicher nicht; durch vergrößern des nenners wird ja jeder bruch kleiner (alle >0).... also auch die ganze summe; die 2. summe ist kleiner als 2.

geometrische reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~{(x)^k} \end{eqnarray*}$ divergiert für |x|>=1 und konvergiert für |x|<1.
der grenzwert ist im 2. fall 1/(1-x), also im beispiel:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~{\frac{1}{4^k}}=\sum_{k=1}^{\infty}~{(\frac{1}{4})^k}=1/(1-1/4))=4/3 \end{eqnarray*}$

mfg jochen

18.11.2004, 15:37

WebFritzi

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Ich hab doch schon längst ein Beispiel gegeben, Jungs.

18.11.2004, 16:19

JochenX

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schon gesehen und als gut empfunden, webfritzi, wollte trotzdem krämers frage beantworten....

mfg jochen

18.11.2004, 17:07

Rex Krämer

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Zitat:

Original von LOED
schon gesehen und als gut empfunden, webfritzi, wollte trotzdem krämers frage beantworten....

mfg jochen

Das war eigentlich als rethorische Frage gedacht, die gleichzeitig ein - für meine Begriffe - sehr eingängiges Gegenbeispiel liefert. Ich wollt's halt nicht komplett vorturnen, da das ja nicht der Board-policy entspräche und dann wieder Reglementierer und Maßregeler wie Webfritzi auf den Plan riefe.

18.11.2004, 17:15

JochenX

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tschuldigung rex, hatte deinen beitrag als frage interpretiert.....

mfg jochen

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