Potenzmenge zeigen

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10.04.2007, 14:28	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzmenge zeigen Hallo, ich habe einmal folgendes Problem: Ich soll zeigen dass bei gegebener Menge $\begin{eqnarray} E=(e_{\nu}\|\nu=1,...,N) \end{eqnarray}$ die Potenzmenge $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ (weiß nicht wie das altdt. Symbol dafür in Tex lautet) gleich : $\begin{eqnarray} \|P(E)\|=2^N \end{eqnarray}$ ist Meine These ist folgende: Wenn die Menge $\begin{eqnarray} E_i=(e_i) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall i\in N \end{eqnarray}$ eine Teilmenge von E ist. Die Teilmengen $\begin{eqnarray} E_i \end{eqnarray}$ also eine Partition bilden, dann gilt, dass wenn $\begin{eqnarray} E\in P(E) \end{eqnarray}$ liegt, auch $\begin{eqnarray} E_i\in P(E) \end{eqnarray}$ liegen muss. Ebenso müssen die Vereinigungen $\begin{eqnarray} \bigcup_{i=1}^{N}E_i\in P(E) \end{eqnarray}$ liegen. Doch wie komme ich nun auf die $\begin{eqnarray} 2^N \end{eqnarray}$ Resultiert die 2 vielleicht daher, dass es zu jeder Menge eine Komplementär Menge gibt?? Könnt ihr mir dabei helfen die Brücke von der Mengendarstellung in die gesuchte zu bekommen?? Ich glaube, dass ich die Mengen auch noch über das Zählmaß darstellen muss. Liege ich dort richtig?? Ein Anderer ANSATZ wäre für mich zu sagen, dass ich über die Anzahl derBinomialkoeffizienten summiere. Docha uch dann komme ich nicht auf die gewünschte Darstellung. Vielen Dank Dennis
10.04.2007, 14:58	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzmenge zeigen Hallo, nimm erstmal an, $\begin{eqnarray} \|E\|=n<\infty \end{eqnarray}$ (wahrscheinlich sollst du sowieso davon ausgehen). Nun überlege dir zunächst, wieviel Teilmengen $\begin{eqnarray} M\subset E \end{eqnarray}$ existieren, mit $\begin{eqnarray} 0\le \|M\|=k\le n \end{eqnarray}$ , also wieviele Möglichkeiten es gibt k Elemente aus n Elementen auszuwählen. Die Ergebnisse einfach aufaddieren, fertig!
10.04.2007, 15:05	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzmenge zeigen danke, ich werds mir morgen noch einmal anschauen und versuchen zu lösen.
10.04.2007, 15:20	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzmenge zeigen Aber dein letzter Ansatz war doch schon gut! Was du am Ende addieren musst, sind die Binomialkoeffizienten einer Zeile im Pascalschen Dreieck. Um diese Summe leichter zu erkennen, sollte man sich mit der Multinomialformel einmal aufschreiben, was $\begin{eqnarray} (1+1)^n \end{eqnarray}$ ist!
10.04.2007, 20:50	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein anderer kombinatorischer Ansatz: Jede mögliche Teilmenge $\begin{eqnarray} M \subseteq \mathcal{P}(E) \end{eqnarray}$ lässt sich wie folgt konstruieren: Du hast $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ unterscheidbare Objekte. Nun kann jedes dieser Objekte entweder in deiner Menge M enthalten sein - oder eben nicht (ergibt 2 Möglichkeiten). Nach dem Zählprinzip gibt es also ingesamt $\begin{eqnarray} 2\cdot2\cdots2=2^n \end{eqnarray}$ Möglichkeiten, eine Teilmenge von E zu bilden. Gruß, therisen
11.04.2007, 12:21	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
@ therisen: deinen Ansatz hatte ich auch vor meinem obigen Verfolgt, doch ich kam nicht darauf, wie ich dieses Zählprinzip mathematisch verdeutlichen kann.Kann ich hier etwas über abbildungen darstellen??
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11.04.2007, 13:07	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray} \phi : \mathcal{P}(E) \to \{0,1\}^N \end{eqnarray}$ konstruieren. Das läuft aber auf meine obige Argumentation hinaus.
11.04.2007, 13:12	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso sollte man das Zählprinizp überhaupt verdeutlichen ? Man kann für jedes Element und jede Teilmenge entscheiden "Dabei" oder "Nichtdabei" und damit erhält man 2 Möglichkeiten. Rest ist Ziehen mit zurücklegen von \|N\|-Teilen. Das mit der Abbildung ist doch genau das gleiche nur formalisiert.
12.04.2007, 07:34	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, aber das ist genau das woraus es ankommt. daher bin ich so sehr hinterher. aber ich versuchs mal ohne die abbildung, ob es so akzeptiert wird??!
12.04.2007, 11:43	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abbildung besagt doch genau das gleiche wie das Kombinatorische Modell, nur das es formalisiert wird: Wird ein Wert auf 0 abgebildet isser raus, wird er auf 1 abgebildet isser dabei. Genau das gleiche ist auch das mit ziehen mit zurücklegen, was aus der Kombinatorik bekannt sein muss. Ist eines der grundlegensten Modelle...
12.04.2007, 14:19	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also so wie die Lösungsansätze dargestellt sind, sind sie sämtlich nihct ausreichen präzise genug formuliert. wie geht man von klein auf vor?? könntet ihr mir dort helfen? wo fange ich an?? wenn ich den weg über den multinomialkoeffizienten gehe, dann muss ich mindestens dazu noch die vollständige induktion machen. doch was noch???
12.04.2007, 14:25	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sind doch nur Binomialkoeffizienten! Und eine Induktion brauchst du in diesem Fall auch nicht!
12.04.2007, 14:43	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ kannst du auch $\begin{eqnarray} P(E) = 2^N \end{eqnarray}$ direkt per Induktion nachweisen. Das ist auch nicht schwer ( $\begin{eqnarray} 2^N+2^N = 2^{N+1} \end{eqnarray}$ ). Oder wie schon gesagt: $\begin{eqnarray} 2^n = (1+1)^n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} \end{eqnarray}$ . Gruß, therisen
19.04.2007, 12:48	brunsii	Auf diesen Beitrag antworten »
das reicht immer noch nicht. damit habe ich wohl noch irgendwelcheeventualitäten nicht ausgeklammert
19.04.2007, 13:42	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, das sind alles mathematisch korrekte Beweise. M. Aigner verwendet in seinem Buch Diskrete Mathematik den für eine Untermenge $\begin{eqnarray} A\subseteq X=\{1,\dots, n\} \end{eqnarray}$ erklärten charakteristischen Vektor $\begin{eqnarray} w(A)=\prod_{i=1}^n a_i \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_i= \begin{cases} 0, & \text{falls } i\not\in A \\ 1, & \text{falls } i\in A \end{cases} \end{eqnarray}$ , um eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray} \mathcal{P}(X) \end{eqnarray}$ und der Menge aller 0,1-Wörter zu konstruieren. Das ist also die gleiche Idee, wie ich hier geschrieben habe. Gruß, therisen

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