problem bei einer komplexen aufgabe

10.04.2007, 14:28

sanny121289

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problem bei einer komplexen aufgabe

Hallo!
zuallererst entschuldigung für die ungenaue themabeschreibung, aber ich wusste nicht, wie ich das ganze nennen sollte.
und zwar habe ich folgende aufgabe bekommen:

Es sei P(r;0) ein Punkt auf der X-achse.Ermitteln Sie, für welche r Tangenten an den Graphen der Funktion f(x) durch P verlaufen.
$\begin{eqnarray*} f(x)=(2x+4)*e^{-x/2} \end{eqnarray*}$

Ich habe absolut keine Idee, wie ich da anfangen soll. Bitte gebt mir einen Tipp!
danke im voraus! Wink

Wink

10.04.2007, 14:48

Divergenz

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RE: problem bei einer komplexen aufgabe
Hallo,

du musst die Tangentengleichung in einem beliebigen Punkt deiner Funktion f aufschreiben, dann deren Nullstelle berechnen. Alles was dabei raus kommt, sind die gesuchten Werte für r.

10.04.2007, 14:53

sanny121289

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also etwa so?
$\begin{eqnarray*} f(x)=f'(x)*x+n \end{eqnarray*}$
da bleibt aber das n übrig?!

10.04.2007, 15:02

klarsoweit

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Die allgemeine Funktionsgleichung für eine Tangente t an eine Funktion im Punkt (x0 | f(x0)) lautet:
$\begin{eqnarray*} t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0) \end{eqnarray*}$

Jetzt muß x_0 so gewählt werden, daß t(r)=0 wird.

10.04.2007, 15:05

Divergenz

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Das n kommt im wesentlichen vom Funktionswert des betrachteten Punktes. Die Geradengleichung einer Tangent am Punkt $\begin{eqnarray*} P(x_p,f(x_p)) \end{eqnarray*}$ lautet doch:
$\begin{eqnarray*} y=f'(x_p)(x-x_p)+f(x_p) \end{eqnarray*}$ .
Jetzt noch Funktion und Ableitung einsetzen und die Nullstellen berechnen!

10.04.2007, 15:38

sanny121289

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menno..ich bekomms nicht hin unglücklich

unglücklich

außerdem habe ich da noch ein weiteres problem.
divergenz hat ja geschrieben, dass die gleichung für eine tangente am punkt p(xp,f(xp)) gilt , was aber bei dieser aufgabe falsch wäre. denn es geht nicht um die tangente im punk p(r, f(r)) sondern um p(r,0)..

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10.04.2007, 15:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von sanny121289
divergenz hat ja geschrieben, dass die gleichung für eine tangente am punkt p(xp,f(xp)) gilt , was aber bei dieser aufgabe falsch wäre. denn es geht nicht um die tangente im punk p(r, f(r)) sondern um p(r,0)..

Wenn ich mir die Aufgabenstellung durchlese, sehe ich das anders. Es geht darum Tangenten an die Funktion zu finden, die irgendwann auch mal durch den Punkt (r; 0) laufen. Also zusammengefaßt:

Die Tangente geht durch einen Punkt der Funktion (xp; f(xp)) und eben noch durch (r; 0). Und in (xp; f(xp)) hat sie noch (weil sie Tangente ist) die gleiche Steigung wie die Funktion.

10.04.2007, 15:49

Divergenz

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Sorry, die Bezeichnung P war ja schon vergeben! Dann nenn den Punkt halt $\begin{eqnarray*} Q=(x_q,f(x_q)) \end{eqnarray*}$ .
Wenn du alles einsetzt solltest du also eine Tangentengleichung in Q bekommen der Form:
$\begin{eqnarray*} y=t_Q(x)=(x_qx-x_q^2+2x_q+4)e^{\frac{-x_q}{2}} \end{eqnarray*}$ .
Von dieser Tangente bestimmst du nun die Nullstelle (also x, wenn y=0 gilt). Dieses Ergebnis ist dann sozusagen dein r. Da es nun von $\begin{eqnarray*} x_q \end{eqnarray*}$ abhängt musst du dir also noch überlegen, welcher Zahlenbereich durch diese Formel abgedeckt wird!

10.04.2007, 15:50

sanny121289

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ah okay. jetz versteh ich das!^^
ich weiß trotzdem nicht, was ich da wo einsetzen muss verwirrt

verwirrt

10.04.2007, 16:15

sanny121289

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Zitat:

Original von Divergenz
$\begin{eqnarray*} y=t_Q(x)=(x_qx-x_q^2+2x_q+4)e^{\frac{-x_q}{2}} \end{eqnarray*}$

ich komme da aber auf:
$\begin{eqnarray*} y=t_Q(x)=(-x_qx+x_q^2+2x_q+4)e^{\frac{-x_q}{2}} \end{eqnarray*}$

10.04.2007, 16:48

sanny121289

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ich hab grad eine andere idee bekommen um die aufgabe zu lösen.
könnte ich nicht einfach das steigungsdreieck anwenden und dann nach r auflösen?

10.04.2007, 17:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von sanny121289
ich komme da aber auf:
$\begin{eqnarray*} y=t_Q(x)=(-x_qx+x_q^2+2x_q+4)e^{\frac{-x_q}{2}} \end{eqnarray*}$

Ich auch. Und da muß x_q jetzt so gewählt werden, daß y(r)=0 ist. Da ist letztlich eine simple quadratische Gleichung zu lösen.

10.04.2007, 17:50

Divergenz

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Du hast recht, ich habe da das Vorzeichen von der Ableitung verloren.
Die Nullstellen sind doch dann aber
$\begin{eqnarray*} x=\frac{(x_q^2-1)^2+3}{x_q} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_q\neq 0. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_q=0 \end{eqnarray*}$ interssiert auch nicht weiter, denn in diesem Fall ist die Tangente parallel zur x-Achse und schneidet sie nicht.

Nun ist noch die Frage, wie der Wertebereich der Funktion $\begin{eqnarray*} g(t):=\frac{(t^2-1)^2+3}{t} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb{R}\backslash\{0\} \end{eqnarray*}$ ist, denn aus diesem Bereich kommt r. Dieser lässt sich aber relativ leicht als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\backslash(-6,5;6,5) \end{eqnarray*}$ ermitteln.

Edit: Hatte da schon wieder einen Vorzeichenfehler.
Der andere Ansatz funktioniert auch! Nimm den Anstieg der Tangente einmal als Differenzenquotient aus den Koordinaten von P und Q und einmal als Anstieg von f in Q. Diese müssen gleich sein (gleiche Tangente)! Dann erhälst du auch die Gleichung $\begin{eqnarray*} r=\frac{(x_q^2-1)^2+3}{x_q} \end{eqnarray*}$ , und musst entsprechend den Wertebereich der Funktion g bestimmen. Dieser Weg ist vielleicht sogar etwas einfacher bis dahin!

10.04.2007, 17:53

Divergenz

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@klarsoweit: Wieso denn immer nach $\begin{eqnarray*} x_q \end{eqnarray*}$ auflösen? Die Tangente am Punkt Q (Q ist also fest gewählt) soll die x-Achse schneiden. Diese Nullstelle ist somit ein zulässiger Wert für r, da sich der Punkt P als Schnittpunkt der x-Achse mit einer Tangente definiert.

11.04.2007, 08:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von Divergenz
Die Nullstellen sind doch dann aber
$\begin{eqnarray*} x=\frac{(x_q^2-1)^2+3}{x_q} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_q\neq 0. \end{eqnarray*}$

Müßte das nicht $\begin{eqnarray*} x=\frac{(x_q+1)^2+3}{x_q} \end{eqnarray*}$ heißen? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Divergenz
@klarsoweit: Wieso denn immer nach $\begin{eqnarray*} x_q \end{eqnarray*}$ auflösen? Die Tangente am Punkt Q (Q ist also fest gewählt) soll die x-Achse schneiden. Diese Nullstelle ist somit ein zulässiger Wert für r, da sich der Punkt P als Schnittpunkt der x-Achse mit einer Tangente definiert.

Hmm. Ich sehe das so, daß man den Punkt P(r;0) vorgibt und dann schaut, ob man einen Punkt Q(x_q; f(x_q)) auf der Funktion findet, so daß die Tangente an die Funktion in Q auch durch P läuft. Damit wäre also die Gleichung
$\begin{eqnarray*} x_q^2 + (2-r) \cdot x_q + 4 = 0 \end{eqnarray*}$ zu lösen.

Wegen der p-q-Formel sind also alle r gültig, die die Ungleichung
$\begin{eqnarray*} \frac{(2-r)^2}{4}-4 \geq 0 \end{eqnarray*}$ erfüllen.

Den Weg, den du beschreitest, ist zwar auch möglich, halte ich aber für aufwändiger.

11.04.2007, 11:19

Divergenz

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Hallo nochmal,

gestern war wohl absolut nicht mein Tag!
@klarsoweit: Natürlich, du hast recht! Es müsste heißen $\begin{eqnarray*} x=\frac{(x_q+1)^2+3}{x_q} \end{eqnarray*}$ .
Und auch dein Ansatz nach x_q aufzulösen und zu schauen, wann das überhaupt nur möglich ist, ist völlig einleuchtend! Weiß auch nicht, was da gestern mit mir los war.

@sanny121289: Also, um es für dich auch noch mal richtig zu stellen. Die grundlegenden Ideen, die ich dir postete, sind zwar richtig, aber nicht die einfachsten für diese Aufgabe, und meine Ergebnisse kannst du auch getrost vergessen! Hier dann alles nochmal richtig:

Nimm deinen Ansatz mit dem Steigungsdreieck! Die Tangente ist eine Gerade und hat somit ihren Anstieg definiert durch die beiden Punkte P und Q als $\begin{eqnarray*} \frac{y_q-y_p}{x_q-x_p}=\frac{f(x_q)}{x_q-r} \end{eqnarray*}$ . Zum anderen hat sie den Anstieg $\begin{eqnarray*} f'(x_q) \end{eqnarray*}$ , da sie ja Tangente an f im Punkt Q sein soll. Setzt du beides gleich, solltest du auf die Beziehung $\begin{eqnarray*} r=\frac{x_q^2+2x_q+4}{x_q} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_q\neq 0 \end{eqnarray*}$ kommen. Natürlich kann man nun r als eine Funktion von x_q ansehen und deren Wertebereich bestimmen, es geht aber auch einfacher, indem man nach x_q auflöst. Man gibt sich somit nicht Q vor und schaut welches P (also r) kommt raus, sondern gibt sich P (in Form von r) vor und schaut welches Q gehört dazu. Gibt es kein Q, erfüllt r nicht die geforderte Bedingung (es gibt zu diesem r also keine Tangente an f). Macht man das, erhält man also
$\begin{eqnarray*} x_q=\frac{r-2}{2}\pm\sqrt{\frac{(r-2)^2}{4}-4} \end{eqnarray*}$ ,
es gibt also nur ein Q, wenn der Radikant nichtnegativ ist, d.h. $\begin{eqnarray*} \frac{(r-2)^2}{4}-4\ge 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Damit muss r aus dem Bereich $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\backslash(-2;6) \end{eqnarray*}$ kommen, und alles andere, was ich dir gepostet habe ist falsch! Sorry nochmal.

11.04.2007, 11:28

klarsoweit

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Da habe ich ja noch einmal Glück gehabt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und damit man mal sieht, wie die Funktion aussieht:

Dann wird auch einigermaßen klar, warum die Funktion keine Tangenten hat, die die x-Achse im Bereich (-2; 6) schneiden.

12.04.2007, 14:01

sanny121289

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@divergenz
ich verstehe deine ausführungen sehr gut, bis auf den letzten punkt, wo du erklärst warum r aus dem bereich -2 bis 6 kommen muss.
denn wenn man z.b. eine 5 für r einsetzt kommt -1,75 raus also ist der radikant negativ, folglich müsste kein x_q bestehen..oder? verwirrt

verwirrt

13.04.2007, 10:55

RS

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Zitat:

Hallo!
zuallererst entschuldigung für die ungenaue themabeschreibung, aber ich wusste nicht, wie ich das ganze nennen sollte.
und zwar habe ich folgende aufgabe bekommen:

Es sei P(r;0) ein Punkt auf der X-achse.Ermitteln Sie, für welche r Tangenten an den Graphen der Funktion f(x) durch P verlaufen.
$\begin{eqnarray*} f(x)=(2x+4)*e^{-x/2} \end{eqnarray*}$

Ich habe absolut keine Idee, wie ich da anfangen soll. Bitte gebt mir einen Tipp!
danke im voraus! Wink

$\begin{eqnarray*} f_{t}(x)=t(x-t)e^{-\frac{x}{t}} \end{eqnarray*}$

Das ist die Ausgangsfunktion. Nun soll die ganze Aufgabe mit f(x) für t=2 durchgeführt werden. Hier liegt der Fehler der es wahrscheinlich so kompliziertz macht. Denn dann kommt nicht +4 sondern -4 in der Klammer raus. Keine Ahnung obs dadurch leichter wird, aber das war gesucht.

Zur Erklärung:

Selber Kurs wie sanny..., Also bitte nochmal Ansätze für die Aufgabe wie ich sie jetzt beschrieben habe.

13.04.2007, 11:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von RS
Also bitte nochmal Ansätze für die Aufgabe wie ich sie jetzt beschrieben habe.

Ehrlich gesagt: nöö.
Es ist hier genügend geschrieben worden, wie man sowas lösen kann. Dasselbe Verfahren kann man ohne weiteres auch mit der korrigierten Version durchführen.

13.04.2007, 13:01

sanny121289

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hi RS
hast du die email von herr müller nicht bekommen?
die ausgansfunktion ist $\begin{eqnarray*} f_{t}(x)=t(x+t)e^{-\frac{x}{t}} \end{eqnarray*}$

13.04.2007, 13:02

RS

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Doch grade eben gesehen sorry. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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