Stammfunktionen!?

17.11.2004, 22:21

ronald

Stammfunktionen!?

Hallo,
bin neu im Mathe Board und stehe vor einigen Matherätseln;
Normale Integrale berechnen, stellen kein Problem dar, aber bei diesen Stammfunktionen bin ich leider komplett ausgestiegen.
Vielleicht kann mir jemand Lösungen ermitteln, damit ich diese nachvollziehen und bei anderen Fragestellungen auf dementsprechende Ansätze ummünzen kann. Hilfe

Berechen von
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi }~(cosx)²~dx \end{eqnarray*}$

Finden einer Rekursionsformel für
$\begin{eqnarray*} \int(sinx)^{n}~dx \end{eqnarray*}$

Stammfunktion von
$\begin{eqnarray*} \int~(lnx)²~dx \end{eqnarray*}$

Stammfunktion von
$\begin{eqnarray*} \int~arctanx~dx \end{eqnarray*}$
(durch partielle Integration

Stammfunktion von
$\begin{eqnarray*} \int(1/(xlnx))~dx \end{eqnarray*}$

Stammfunktion von
$\begin{eqnarray*} \int~x^2e^x~dx \end{eqnarray*}$

Stammfunktion von
$\begin{eqnarray*} \int~e^xsinhx~dx \end{eqnarray*}$

Zitat:

Fragen - Nichts als Fragen!

18.11.2004, 08:27

klarsoweit

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RE: Stammfunktionen!?

Zitat:

Original von ronald
Stammfunktion von
$\begin{eqnarray*} \int~x^2e^x~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi }~(cosx)²~dx \end{eqnarray*}$

Das geht mit partieller Integration. Beim cos²(x) muß man das Ergebnis nach $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi }~(cosx)²~dx \end{eqnarray*}$ umstellen. Die partielle Integration ist wohl auch für ein Teil der anderen Integrale geeignet. Schreib mal hin, was du rechnest und dann schauen wir weiter.

18.11.2004, 10:08

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also zu (cosx)²:

hier mal aus der Formelsammlung der Trigonometrie: (cosx)² = 1/2 + 1/2*cos2x

also:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a }~0,5+ 0,5\cos(2x) ~dx \end{eqnarray*}$

und jetzt substituieren.Kannst es ja mal versuchen

18.11.2004, 17:19

ronald

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RE: Stammfunktionen!?
Hallo!

Danke vorab für Antwort,
z.B mein Lösungsgedanke:
$\begin{eqnarray*} \int~x^2e^x~dx \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} x^2e^x \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \int~2xe^x~dx \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} x^2e^x-2xe^x \end{eqnarray*}$
=?
bin ich am richtigen Weg?

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi}~(cosx)^2~dx \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} (1/2)+(1/2)cos(2)~dx \end{eqnarray*}$
mit der Regel
$\begin{eqnarray*} F(2\pi )-F(0)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1/2)+(1/2)cos(2\pi)-(1/2)+(1/2)cos(0)= \end{eqnarray*}$
und nun ausrechnen?

Ich habe nun eine Lösung für
$\begin{eqnarray*} \int~arctanx~dx \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} x~arctanx~x-(1/2)ln(1+x^2) \end{eqnarray*}$

Diese Lösung habe ich von einer Stammfunktionstabelle,
ich weiß aber beim besten Willen nicht, wie man darauf kommen kann;

Kann mir jemand helfen?

Dankend
Ronald

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

18.11.2004, 17:44

Leopold

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Der erste Summand zeigt dir, daß partiell integriert wurde (mit u'(x)=1 und v(x)=arctan x).

18.11.2004, 17:44

Mathespezialschüler

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Bitte unterlasse die Doppelposts und benutze die edit-Funktion!!! Danke.

Durch partielle Integration! Schreibe es so hin:

$\begin{eqnarray*} \int~\arctan(x)~dx=\int~1\cdot \arctan(x)~dx \end{eqnarray*}$

Das zu dem $\begin{eqnarray*} x^2e^x \end{eqnarray*}$ ist zwar ein guter Ansatz, aber das Integral von $\begin{eqnarray*} 2xe^x \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} 2xe^x \end{eqnarray*}$ . Du musst $\begin{eqnarray*} \int~2xe^x~dx \end{eqnarray*}$ nochmal mit partieller Integration lösen!

18.11.2004, 18:24

ronald

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Verzeih,
wußte ich nicht;

das heißt:
$\begin{eqnarray*} x^2e^x-2xe^x+e^x \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} e^x(x^2-2x+1) \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} e^x(x-1)(x+1) \end{eqnarray*}$

RICHTIG?

18.11.2004, 20:19

paulus

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RE: Stammfunktionen!?
bsp nr.4: ansatz:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi}~\frac{1}{2} +\frac{1}{2} cos2x~dx \end{eqnarray*}$ ....
==> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}(2x+ \sin(2x)) \end{eqnarray*}$ von 0 bis 2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

bsp nr.6: ansatz:
hab mir zuerst das integral vom ln(x) ausgerechnet:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~1*ln(x)~dx = \end{eqnarray*}$ part. Integr. mit u=ln(x) und v'=1
Lösung: x*ln(x) - x

dann:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ln(x)*ln(x)~dx = \end{eqnarray*}$ wieder part. int. mit u=v'=ln(x) ==> u'=1/x und v=x*ln(x)-x dann kürzt sich im Integral ein x weg und du musst nur noch den ln(x) integrieren.
Lösung: x*ln(x)²-2*ln(x)+2*x (hab auch die Probe gerechnet, dürfte stimmen)

bsp nr. 8:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{x*ln(x)}~dx = \end{eqnarray*}$ hier musst du substituieren, d.h. u=ln(x) du/dx=1/x ==> dx=x*du das nun wieder einsetzten im Integral:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{x*u}~x*du = \end{eqnarray*}$ x Kürzen und du hast das integral 1/u

bsp nr.9:
2mal part. int. 1.Mal für u=x² einsetzen und 2.Mal für u=x einsetzen. dann hast du nur mehr die e Funktion im integral.

bsp nr.10:
wieder 2mal part.Int. und du erhälst auf der linken seite wieder das integral von der rechten seite. die 2 bringst du dann auf eine seite und du hast das integral gelöst.

18.11.2004, 21:20

ronald

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RE: Stammfunktionen!?
Bsp:
$\begin{eqnarray*} \int~arctanx~dx \end{eqnarray*}$
=

Ist das Integral ein Bruch, in dem der Zähler die Ableitung des Nenners ist, dann ist das unbestimmte Integral gleich dem natürlichen Logarithmus des Nenners:
Ich denke da man dadurch auf dieses Ergebnis kommt!

$\begin{eqnarray*} ~xarctanx~dx-\int~(1/2)ln(1+x^2)~dx \end{eqnarray*}$

Gruß Ronald

18.11.2004, 23:04

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von ronald
das heißt:
$\begin{eqnarray*} x^2e^x-2xe^x+e^x \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} e^x(x^2-2x+1) \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} e^x(x-1)(x+1) \end{eqnarray*}$

RICHTIG?

Du kannst immer ganz leicht selbst überprüfen, ob du eine Stammfunktion richtig berechnet hast! Du weißt auch selbst, wie, nämlich indem du die Stammfunktion ableitest ...
Es ist fast richtig, du hast aber noch nen kleinen Fehler beim Integrieren von $\begin{eqnarray*} 2xe^x \end{eqnarray*}$ gemacht. Übrigens wäre deine Vereinfachung auch falsch!

$\begin{eqnarray*} x^2-2x+1=(x-1)^2 \end{eqnarray*}$

und nicht $\begin{eqnarray*} (x-1)(x+1) \end{eqnarray*}$ !! Das ist nämlich $\begin{eqnarray*} =x^2-1 \end{eqnarray*}$ !
Was da jetzt mit dem arctan steht, ist nur richtig, wenn du das Integralzeichen wegnimmst!

@paulus
Bitte keine kompletten Lösungen, wir wollen hier nicht einfach die Aufgaben lösen Augenzwinkern

Lies dir dazu am besten mal das hier durch!! Danke smile

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