Eigenwertproblem - Basis gesucht

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10.04.2007, 14:45	Kaesekuchen86	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwertproblem - Basis gesucht Hi! Ich hab die Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 & \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben. Für den Eigenwert hab ich lambda = 2 raus. Ich suche jetzt eine Basis b1, b2 des R^2 bzgl derer die Abbildung die Matrixform $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hat. Wie komm ich an b1 und b2 ??
10.04.2007, 15:48	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwertproblem - Basis gesucht Bestimmung des char. Polynoms $\begin{eqnarray} det(A-t\cdot I) &&= (3-t)(1-t)+1=\\&&=t^2-4t+3+1 = \\&&=(t-2)^2 \end{eqnarray}$ Die Matrix hat also nur einen Eigenwert, $\begin{eqnarray} \lambda =2 \end{eqnarray}$ . Eigenvektoren bestimmt man über lösen des LGS: $\begin{eqnarray} Av=\lambda\cdot v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1\\v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot v_1\\2 \cdot v_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Was sagt die Lösung über die Existenz einer Diagonalmatrix aus?
10.04.2007, 15:55	Kaesekuchen86	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} k \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wäre dann Eigenvektor... aber ich weiß leider noch nich wie mir das weiterhilft.... ich bräuchte ja 2 Eigenvektoren...
10.04.2007, 15:57	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Eben Was ist also nicht möglich?
10.04.2007, 16:00	Kaesekuchen86	Auf diesen Beitrag antworten »
so wie du fragst würde ich mal annehmen, dass man die Abbildung nicht als eine der unten genannten Matrizzen schreiben kann.... kannst du mir kurz erklären, warum nich ?
10.04.2007, 16:02	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wann ist eine Matrix Diagonalisierbar, also (hier) diese Darstellung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ möglich?
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10.04.2007, 16:04	Kaesekuchen86	Auf diesen Beitrag antworten »
das wüsste ich ja gern... hab heut in der Vorlesung gelernt dass man eine 2x2 Matrix immer als eine der beiden Matrizzen schreiben kann...
10.04.2007, 16:06	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sagen Dir die Begriffe char. Polynom, Eigenraum, algebraische und geometrische Vielfachheit?
10.04.2007, 16:08	Kaesekuchen86	Auf diesen Beitrag antworten »
char. Polynom -> Nullstellen = Eigenwerte Eigenraum -> Raum, der von den EIgenvektoren aufgespannt wird, hier 1dimensional. Rest noch nie gehört
10.04.2007, 16:12	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
algebraische VFH eines Eigenwerts: Vielfachheit seiner Nullstelle im char. Poly geometrische VFH eines EW: Dimension "Seines" Eigenraums Ein "Checkpunkt" bei der Frage nach "Diagonalisierbarkeit ist, dass gelten muss: alg. VFH = geom. VFH Jetzt klar, warum das hier nicht geht?
10.04.2007, 16:16	Kaesekuchen86	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, akzeptier ich aber wieso kann ich das dann nich in die Jordangestalt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bringen ? Das is ja nich diagonal...
10.04.2007, 16:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab ich ja nicht gesagt, dass das nicht geht. Wann ist eine Matrix "Tridiagonalisierbar"? Wenn das char. Poly in Linearfaktoren zerfällt.
10.04.2007, 16:19	Kaesekuchen86	Auf diesen Beitrag antworten »
würdest du mir denn verraten wie das geht ? am besten mal vorrechnen ; ) .... ich kapier das schon wenn ich das einmal sehe... wär echt nett
10.04.2007, 16:30	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Tridiagonalisierung Wir wählen als Eigenvektor also, möglichst einfach $\begin{eqnarray} v=\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Den schreiben wir in die erste Spalte der Einheitsmatrix: $\begin{eqnarray} S_1^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Invertieren: $\begin{eqnarray} S=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B=SAS^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2&-1\\0&2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
10.04.2007, 16:37	Kaesekuchen86	Auf diesen Beitrag antworten »
da is aber doch n Minus vor der 1...... Also seh ich das richtig, dass du quasi die alte Matrixdarstellung in eine Matrixdarstellung für die Basis (1,1) und (0,1) umwandelst?
10.04.2007, 16:40	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
wir haben ja auch erst trigonalisiert. Noch keine JNF
10.04.2007, 17:00	Kaesekuchen86	Auf diesen Beitrag antworten »
woher weiß ich denn jetzt dass der zweite basisvektor (0,1) heißt? Und wie komm ich von da auf Jordan?
10.04.2007, 17:02	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Moment mal bitte. Ich schreibe noch....
10.04.2007, 17:08	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Jordansche Normalform Wir haben nur einen Eigenwert, als ist $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ der einzige Hauptraum. Man setzt $\begin{eqnarray} C:=B-2\cdot I_2 = \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es ist: $\begin{eqnarray} C^2 = \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Daher ist p = 2. Daraus folgt: $\begin{eqnarray} {0} = V_0 \subset V_1 = span \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \subset V_2 = \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ Wir wählen $\begin{eqnarray} U_2 = span \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} C \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Muss $\begin{eqnarray} U_1 = span\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein. Somit erhält man die Basis: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also Transformationsmatrizen $\begin{eqnarray} T^{-1}=\begin{pmatrix}-1& 0 \\0& 1 \end{pmatrix} ,~T=\begin{pmatrix}-1& 0 \\0& 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} TCT^{-1} = \begin{pmatrix} 0&1 \\ 0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} D=TBT^{-1} = \begin{pmatrix} 2&1 \\ 0&2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie lauten jetzt die Transformationsmatrizen für allgemein $\begin{eqnarray} D=JAJ^{-1} \end{eqnarray}$

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