Eigenwertproblem - Basis gesucht

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Kaesekuchen86 Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwertproblem - Basis gesucht
Hi!

Ich hab die Matrix gegeben.
Für den Eigenwert hab ich lambda = 2 raus.
Ich suche jetzt eine Basis b1, b2 des R^2 bzgl derer die Abbildung die Matrixform oder hat. Wie komm ich an b1 und b2 ??
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwertproblem - Basis gesucht
Bestimmung des char. Polynoms



Die Matrix hat also nur einen Eigenwert, . Eigenvektoren bestimmt man über lösen des LGS:





Was sagt die Lösung über die Existenz einer Diagonalmatrix aus?
Kaesekuchen86 Auf diesen Beitrag antworten »

wäre dann Eigenvektor... aber ich weiß leider noch nich wie mir das weiterhilft.... ich bräuchte ja 2 Eigenvektoren...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Eben Augenzwinkern Was ist also nicht möglich?
Kaesekuchen86 Auf diesen Beitrag antworten »

so wie du fragst würde ich mal annehmen, dass man die Abbildung nicht als eine der unten genannten Matrizzen schreiben kann.... kannst du mir kurz erklären, warum nich ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wann ist eine Matrix Diagonalisierbar, also (hier) diese Darstellung



möglich?
 
 
Kaesekuchen86 Auf diesen Beitrag antworten »

das wüsste ich ja gern... hab heut in der Vorlesung gelernt dass man eine 2x2 Matrix immer als eine der beiden Matrizzen schreiben kann...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was sagen Dir die Begriffe char. Polynom, Eigenraum, algebraische und geometrische Vielfachheit?
Kaesekuchen86 Auf diesen Beitrag antworten »

char. Polynom -> Nullstellen = Eigenwerte
Eigenraum -> Raum, der von den EIgenvektoren aufgespannt wird, hier 1dimensional.

Rest noch nie gehört
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

algebraische VFH eines Eigenwerts:

Vielfachheit seiner Nullstelle im char. Poly

geometrische VFH eines EW:

Dimension "Seines" Eigenraums

Ein "Checkpunkt" bei der Frage nach "Diagonalisierbarkeit ist, dass gelten muss:

alg. VFH = geom. VFH

Jetzt klar, warum das hier nicht geht?
Kaesekuchen86 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, akzeptier ich smile

aber wieso kann ich das dann nich in die Jordangestalt bringen ? Das is ja nich diagonal...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich ja nicht gesagt, dass das nicht geht. Augenzwinkern Wann ist eine Matrix "Tridiagonalisierbar"? Wenn das char. Poly in Linearfaktoren zerfällt.
Kaesekuchen86 Auf diesen Beitrag antworten »

würdest du mir denn verraten wie das geht ? am besten mal vorrechnen ; ) .... ich kapier das schon wenn ich das einmal sehe... wär echt nett
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Tridiagonalisierung

Wir wählen als Eigenvektor also, möglichst einfach Augenzwinkern



Den schreiben wir in die erste Spalte der Einheitsmatrix:



Invertieren:



Kaesekuchen86 Auf diesen Beitrag antworten »

da is aber doch n Minus vor der 1......

Also seh ich das richtig, dass du quasi die alte Matrixdarstellung in eine Matrixdarstellung für die Basis (1,1) und (0,1) umwandelst?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern wir haben ja auch erst trigonalisiert. Noch keine JNF Augenzwinkern
Kaesekuchen86 Auf diesen Beitrag antworten »

woher weiß ich denn jetzt dass der zweite basisvektor (0,1) heißt? Und wie komm ich von da auf Jordan?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Moment mal bitte. Ich schreibe noch....
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Jordansche Normalform

Wir haben nur einen Eigenwert, als ist der einzige Hauptraum. Man setzt



Es ist:



Daher ist p = 2. Daraus folgt:



Wir wählen



Wegen



Muss



sein. Somit erhält man die Basis:



Also Transformationsmatrizen



Mit



also




Wie lauten jetzt die Transformationsmatrizen für allgemein

Augenzwinkern
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