Konvergenz

18.11.2004, 16:01	JayJay	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz Servus Leute, hab leider ein Problem. Und zwar heb ich 3 Aufgaben aber leider keine Ahnung: Man untersuche die folgenden Folgen auf Konvergenz und bestimme ggf. den Grenzwert: 1) $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{\sqrt[n]{n}-1} \end{eqnarray}$ 2) (1+ $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} ^n \end{eqnarray}$ 3) (1+ $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} ^{n} \end{eqnarray}$ Hab zwar so meine Vermutungen welche Grenzwerte existieren, weiß aber nicht wie ich sowas nachweise. Meine Vermutungen sind folgende: 1) 0 oder 1 2) + 3) gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$
19.11.2004, 00:11	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht solltet ihr beide euch mal zusammentun 1) Gegen was geht denn $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{n}-1 \end{eqnarray}$ ?? Wenn ich die Wurzel aus einer Zahl x mit $\begin{eqnarray} 0<x<1 \end{eqnarray}$ ziehe, ist das Ergebnis dann größer oder kleiner? Sprich $\begin{eqnarray} \sqrt{x}<x \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \sqrt{x}>x \end{eqnarray}$ oder sogar gleich? 2 und 3 falsch!! Du weißt ja sicher, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e \end{eqnarray}$ Vielleicht weißt du es ja auch, auf jeden Fall kann man daraus folgern: Sei $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ eine Nullfolge, aber immer $\begin{eqnarray} x_n\neq 0 \end{eqnarray}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty}\left(1+x_n\right)^{\frac{1}{x_n}}=e \end{eqnarray}$ Du musst bei 2 und 3 das geschickt auf eine solche Folge umformen!

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