Partialbruchzerlegung

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18.11.2004, 16:16	Croven	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung Hallo, ich hab hier dieses Integral: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{5x+1}{x^{2} -1} ~dx \end{eqnarray}$ das soll ich lösen, ich kanns auspalten in: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{5x+1}{{x+1}{x-1}} ~dx \end{eqnarray}$ und das soll das gelten: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{5x+1}{{x+1}{x-1}} ~dx \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{A}{x-1} ~dx \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{B}{x+1} ~dx \end{eqnarray}$ kann mir das einer per "Partialbruchzerlegung" komplett vorrechnen, das hatten wir noch nicht, wäre auch sehr schön, wenn einer die regel dazu posten könnte bzw den Beweis, danke euch
18.11.2004, 17:05	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich mach mal den Anfang.... $\begin{eqnarray} \frac{5x+1}{(x-1)(x+1)} \end{eqnarray}$ An Klammern sollte man hier nicht sparen! $\begin{eqnarray} \frac{A}{x-1} +\frac{B}{x+1} =\frac{A(x+1)}{(x-1)(x+1)} +\frac{B(x-1)}{(x-1)(x+1)} =\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)} \end{eqnarray}$ So jetzt hast Du Deine Funktion und den Ausdruck den ich Dir gegeben habe. Du siehst das die Nenner gleich sind daraus folgt..... Jetzt mußt Du nur noch zwei Ausdrücke gleichsetzen und durch einsetzen der Nullstellen erhälst Du A und B. Und die Integrale sind leicht zu lösen: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{A}{(x-1)}~dx+\int_{}^{}~\frac{B}{(x+1)}~dx \end{eqnarray}$
18.11.2004, 17:19	Croven	Auf diesen Beitrag antworten »
warum nullstellen ?
18.11.2004, 21:00	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
weil wenn Du x=1 und x=-1 einsetzt jeweils ein Therm Null wird versuch es mal... Wenn Du es nicht schaffst mach ich den Anfang.
18.11.2004, 21:09	Croven	Auf diesen Beitrag antworten »
wäre schön,wenn du es mir mal ausrechnest.. achso, warum wollen wir eigentlich, dass der term 0 wird ? wäre noch toller, wenn du mir das System das hinter dieser Rechenweise "Partialbruchteilung" stehst, mir erklärst.. ich weiß nur, dass wir nen bruch aufteilen der im Zähler ne Multiplikation hat, und wir den dann in 2 Brüche aufteilen...warum und wie das geht weis ich nicht deswegen brauche ich ja auch hilfe.. Mathelehere hat gemeint, ich kann das nicht wissen, will das aber
18.11.2004, 21:28	Croven	Auf diesen Beitrag antworten »
so, ich hab mal nen wenig rumprobiert und komme auf die rechnung: $\begin{eqnarray} 5x+1=A(x+1)+B(x-1) \end{eqnarray}$ wie gehe ich weiter vor ? bitte mit begründung warum edit: hab irgendwo gelesen nullstellen einsetzen..wenn ja, woher bekomm ich die nullstellen, einfach den Hauptnenner =0 setzen in dem Fall (x-1)*(x+1)=0 und wenn ja, warum
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18.11.2004, 21:30	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Du setzt die Nenner gleich: $\begin{eqnarray} A(x+1)+B(x-1)=5x+1 \end{eqnarray}$ Dann setzt Du x=1 ein $\begin{eqnarray} A(1+1)+B(1-1)=51+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2A=6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A=3 \end{eqnarray}$ so jetzt setzt Du x=-1 ein das kannst Du wohl jetzt selber oder? Dann A und B einsetzen und lösen. Jetzt ist es hoffentlich klar. Es bringt Dir nichts wenn ich alles löse. Die Integrale werden dann wie folgt gelöst $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{3}{x-1}~dx = 3ln \mid x-1 \mid \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{B}{x+1}~dx = Bln \mid x+1 \mid \end{eqnarray*}$
18.11.2004, 21:32	Croven	Auf diesen Beitrag antworten »
warum die NullsTELLEN ???? edit: kommt das dann raus? $\begin{eqnarray} 3ln\mid x-1 \mid \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} 2ln\mid x+1 \mid \end{eqnarray}$
18.11.2004, 21:56	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig
18.11.2004, 23:08	Croven	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm, wenn ich es ihm derive 6.00 ausrechnen lasse kommt aber was anderes raus..oder ist tatsächlich mein ergebnis richtig ?
18.11.2004, 23:10	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst da gar nicht die Nullstellen einsetzen!!! Wenn du hier bist: $\begin{eqnarray} A(x+1)+B(x-1)=5x+1 \end{eqnarray}$ dann geht das auch anders!! Ich denke, so ist es eigentlich auch bekannter als das mit den Nullstellen einsetzen. $\begin{eqnarray} Ax+A+Bx-B=5x+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x(A+B)+A-B=5x+1 \end{eqnarray}$ Koeffizientenvergleich $\begin{eqnarray} A+B=5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A-B=1 \end{eqnarray}$ GLS lösen ... fertig.
18.11.2004, 23:15	Croven	Auf diesen Beitrag antworten »
ich verstehe den koeffizientenvergleich nicht..wie kommst du von dem 3. Vorletzen auf den 2. vorletzen ??
18.11.2004, 23:19	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Faktor auf der rechten Seite von x ist doch 5! Also muss der Faktor von x auf der linken Seite auch 5 sein, also muss A+B=5, weil der Faktor ja A+B ist. Der konstante Teil is rechts 1. Links ist der konstante Teil A-B, der muss aber auch 1 werden, damit die beiden Seiten gleich sind. Also A-B=1. Klar?
18.11.2004, 23:24	Croven	Auf diesen Beitrag antworten »
jo alles klar, ist nen netter kleiner trick musste es mir aber 2 x durchlesen bis ich es kapiert hab thX ! eine kleine frage hab ich noch, was ist der koeffizient ? der Faktor vor x ? bzw statt x oder wie ?
18.11.2004, 23:37	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Jep, Koeffizient heißt soviel wie Faktor

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