Funktion bestimmen

10.04.2007, 22:13

PG

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Funktion bestimmen

Hi
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f:x\to f(x) \end{eqnarray*}$ ist im Intervall $\begin{eqnarray*} I=[-\frac{1}{2}\pi;\frac{1}{2}\pi] \end{eqnarray*}$ durch folgende Bedingungen definiert:
(1) $\begin{eqnarray*} -1\leq f(x)\leq 0 \end{eqnarray*}$ ;
(2)f ist in I differenzierbar mit $\begin{eqnarray*} f'(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ ;
(3) $\begin{eqnarray*} f'(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ .

a) Bestimme die Funktion und zeichne ihren Graphen!

Das zeichnen bekomm ich hin, wenn ich weiß, dass ich richtig gerechnet habe.
Gehen wir alle Bedingungen durch.
Durch Bedingung 1 wissen wir, dass es die y-Wert -1 bis 0 besitzt, also unter der x-Achse einschließlich einige Punkte auch auf der x-Achse( höchstwahrscheinlich Hochpunkt als y-Wert 0 und Tiefpunkt als y-Wert -1)

Durch Bedingung 2 wissen wir, dass es keine Sprünge hat. Man kann sie durchzeichnen. Sie steigt in einem bestimmten Intervall. usw.
Bevor ich weiter erz., zeige ich das Ergebnis. Es ist eine trigonometrische Funktion und lautet:
$\begin{eqnarray*} f(x)=-0,5\cos(x+\frac{\pi}{2})-0.5 \end{eqnarray*}$
Wie kann man eigentlich prüfen, dass mein Ergebnis richtig ist?

Danke

10.04.2007, 23:30

therisen

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Schauen wir uns deine Funktion doch einfach mal an:

Bedingung (3) ist nicht erfüllt.

Gruß, therisen

10.04.2007, 23:40

PG

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Hast du vielleicht einen Tipp, wie man darauf kommt?
Ich war mir auch bewusst, dass Bedingung 3 nicht erfüllt war, da die Ableitung nicht sin(x) ergeben hat. Aber in der Klausur hätte ich es so hingeschrieben aufgrund von Zeitmangel

Wie könnte ich sowas lösen?

Ich hätte für x>0
$\begin{eqnarray*} f(x)=-0.5\cos(2x)-0.5 \end{eqnarray*}$
Was die dritte Bedingung erfüllt. Aber es darf keine abschnittsweise definierte Funktion sein aufgrund von Bedingung (2). Wie muss ich vorgehen...

11.04.2007, 22:12

PG

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Bevor das in Vergessenheit gerät: Kann mir einer weiterhelfen?

12.04.2007, 01:54

Bjoern1982

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Hmm....sollte nicht einfach f(x)=-cos(x) alle Bedingungen erfüllen oder vertu ich mich da jetzt verwirrt

verwirrt

Gruß Björn

12.04.2007, 13:00

PG

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Hmm....sollte nicht einfach f(x)=-cos(x) alle Bedingungen erfüllen oder vertu ich mich da jetzt verwirrt

verwirrt

Gruß Björn

Das wäre allein schon deswegen nicht richtig, weil Bedingung (1) nicht erfüllt wäre...

edit: Auch Bedingung (2) wäre nicht erfüllt. Bedingung (3) nur teilweise, weil das gilt ja nicht für ganz I, sondern nur für einen Teil

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13.04.2007, 00:36

Bjoern1982

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Hmm....dann versuch ich nochmal mein Glück Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich würde hier schon eine abschnittweise Funktion wählen, denn sofern an der "Nahtstelle" ein tangentialer Übergang gegeben ist sollte die Funktion doch auch in ganz I differenzierbar sein.

falls x>0 ---> f(x)=-cos(x)

falls $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ ----> f(x)=-1

Gruß Björn

13.04.2007, 01:01

PG

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Hmm....dann versuch ich nochmal mein Glück Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich würde hier schon eine abschnittweise Funktion wählen, denn sofern an der "Nahtstelle" ein tangentialer Übergang gegeben ist sollte die Funktion doch auch in ganz I differenzierbar sein.
falls x>0 ---> f(x)=-cos(x)

falls $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ ----> f(x)=-1

Erst einmal Danke Bjoern, dass du versuchst mir zu helfen.
Hmm deine Funktion erfüllt tatsächlich alle Bedingungen, fall ich mich nicht irre.

13.04.2007, 01:11

Bjoern1982

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Keine Ursache smile

smile

Vielleicht haben wir ja Glück und ein Moderator bzw eine Moderatorin meldet sich auch nochmal und segnet das ab Big Laugh

Big Laugh

Gute Nacht

Gruß Björn

13.04.2007, 11:49

AD

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Ist richtig, das ist die einzige Funktion, die den Bedingungen der Aufgabe genügt.

Eine überzeugende Begründung für die Eindeutigkeit dieser Lösung habe ich aber bisher im Thread nicht gesehen.

13.04.2007, 11:55

Bjoern1982

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Zitat:

Eine überzeugende Begründung für die Eindeutigkeit dieser Lösung habe ich aber bisher im Thread nicht gesehen.

Könnte ich auch liefern....zumindest verbal Big Laugh

Big Laugh

Aber ich will da erstmal PG den Vortritt überlassen.

Danke, dass du nochmal drüber geschaut hast smile

smile

Gruß Björn

13.04.2007, 13:12

PG

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Das Thema dieser Aufgabe heißt: Integralfunktion und ist die letzte Teilaufgabe dieses Thema und auch die schwerste, da sie rot verzeichnet ist.
Gleich darauf folgt das Thema "Abschnittsweise definierte Funktionen", was eine gute Überleitung wäre.
Daher denke ich, dass du es richtig gelöst hast...Respekt.
ich mache diese Aufgaben zur Wiederholung. Die anderen Aufgaben mache ich ganz schnell( dank Bjoern kann ich es jetzt auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

b) Untersuche, ob für x=0 die 1. bzw. die 2. Ableitung existiert!
Antwort: 1. Abl. Ja, aber 2. Ableitung nicht.

c)Bestimme den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse in I !
Ansatz: $\begin{eqnarray*} A=\frac{\pi}{2}+sin{\frac{\pi}{2}}=1\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

d)Gib die Schar der lineraen Funktionen $\begin{eqnarray*} g_a:~x\to~g_a(x) \end{eqnarray*}$ an, für die gilt:
$\begin{eqnarray*} \int^{\pi/2}_{-\pi/2}[f(x)-g_a(x)]dx=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [F(x)-G_a(x) ]^{\pi/2}_{-\pi/2}=0 \end{eqnarray*}$

... usw. Ich werde später antworten, da ich jetzt weg muss

edit: So weiter
$\begin{eqnarray*} F( \frac{\pi}{2} )-G_a(\frac{\pi}{2})-[F(-\frac{\pi}{2})-G_a(-\frac{\pi}{2})]=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sin{\frac{\pi}{2}}-G_a(\frac{\pi}{2})-[\frac{\pi}{2}-G_a(-\frac{\pi}{2})]=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-G_a(\frac{\pi}{2})-\frac{\pi}{2}+G_a(-\frac{\pi}{2})=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -G_a(\frac{\pi}{2})+\frac{\pi}{2}+G_a(-\frac{\pi}{2})=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -G_a(\frac{\pi}{2})+G_a(-\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

wie es weiter geht, ist fraglich... verwirrt

verwirrt

edit2: Jetzt müssten wir systematisch vorgehen
Eine allgemeine lineare Funktion:
$\begin{eqnarray*} y=mx+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_a=amx+b \end{eqnarray*}$
(wobei, wenn der Parameter a mit b multipliziert wäre, es keinen Sinn ergeben würde, da sich b auflöst.)

(1) $\begin{eqnarray*} G_a(\frac{\pi}{2} )-G_a(-\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_a(x)=amx+b \end{eqnarray*}$
Alles in (1) einsetzen unter Beachtung des x-Wertes:

$\begin{eqnarray*} am(\frac{\pi}{2})+ am(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} am\cdot({\pi})=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m=\frac{1}{2a} \end{eqnarray*}$
hmm ab hier kann ich aufhören und sicher sein, dass der Parameter a doch mit b multipliziert ist, da sich der Parameter beim Einsetzen wieder auflösen würde.

edit3: das würde heißen
$\begin{eqnarray*} G_a(x)=mx+ab \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_a(x)=0,5x+ab \end{eqnarray*}$
Wie erhalte ich b?
$\begin{eqnarray*} G_a(\pi/2)= \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

Also folgt:
$\begin{eqnarray*} 1=ab \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ ??
Dann würde sich wieder a auflösen! und wie hätten keine Scharfunktion.

Also bleibt mir zwar eine andere Variante noch übrig, die ich für sehr unwahrscheinlich halte.
Daher denke ich, dass die Geradenschar lautet:
$\begin{eqnarray*} G_a(x)=\frac{1}{2}x+a \end{eqnarray*}$

Was sagt ihr?

Diese erfüllt in der Tat die Bedingung, wenn ich mich nicht verrechnet habe.

13.04.2007, 16:01

AD

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Zitat:

Original von PG
Ansatz: $\begin{eqnarray*} A=\frac{\pi}{2}+sin{\frac{\pi}{2}}=1\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

An sich finde ich ja Ergebnisangaben wie $\begin{eqnarray*} 1\frac{1}{7} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \frac{8}{7} \end{eqnarray*}$ schon nicht so toll, aber das ist nun mal historisch gewachsen bei den Brüchen.

$\begin{eqnarray*} 1\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} 1+\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ geht mir aber eindeutig zu weit, das würde ich knallhart als $\begin{eqnarray*} 1\cdot \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ lesen...

13.04.2007, 16:07

PG

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von PG
Ansatz: $\begin{eqnarray*} A=\frac{\pi}{2}+sin{\frac{\pi}{2}}=1\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

An sich finde ich ja Ergebnisangaben wie $\begin{eqnarray*} 1\frac{1}{7} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \frac{8}{7} \end{eqnarray*}$ schon nicht so toll, aber das ist nun mal historisch gewachsen bei den Brüchen.

$\begin{eqnarray*} 1\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} 1+\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ geht mir aber eindeutig zu weit, das würde ich knallhart als $\begin{eqnarray*} 1\cdot \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ lesen...

lol

Big Laugh

kannst du den Rest auch überprüfen?

13.04.2007, 17:46

AD

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Da geht's aber chaotisch zu:

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} F( \frac{\pi}{2} )-G_a(\frac{\pi}{2})-[F(-\frac{\pi}{2})-G_a(-\frac{\pi}{2})]=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sin{\frac{\pi}{2}}-G_a(\frac{\pi}{2})-[\frac{\pi}{2}-G_a(-\frac{\pi}{2})]=0 \end{eqnarray*}$

Mit was für einer Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ rechnest du da eigentlich? Das sollte doch

$\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{cases} -\sin(x) & \;\mbox{für}\; x\geq 0\\ -x & \;\mbox{für}\; x< 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

sein. Sieht aber nicht so aus, als ob du das so gerechnet hättest...

Angesichts der bereits berechneten Fläche $\begin{eqnarray*} -1-\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ (negativ, weil unter der x-Achse) hättest du deinen Vorzeichenfehler hier merken müssen...

13.04.2007, 17:53

PG

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stimmt, ich habe die falsch Stammfunktion verwendet.
Also so gehts weiter:

$\begin{eqnarray*} F( \frac{\pi}{2} )-G_a(\frac{\pi}{2})-[F(-\frac{\pi}{2})-G_a(-\frac{\pi}{2})]=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\sin{\frac{\pi}{2}}-G_a(\frac{\pi}{2})-[\frac{\pi}{2}-G_a(-\frac{\pi}{2})]=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1-G_a(\frac{\pi}{2})-\frac{\pi}{2}+G_a(-\frac{\pi}{2})=0 \end{eqnarray*}$

Aber das bringt mich auch nicht weiter...

13.04.2007, 21:01

Bjoern1982

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Zitat:

d)Gib die Schar der lineraen Funktionen $\begin{eqnarray*} g_a:~x\to~g_a(x) \end{eqnarray*}$ an, für die gilt:
$\begin{eqnarray*} \int^{\pi/2}_{-\pi/2}[f(x)-g_a(x)]dx=0 \end{eqnarray*}$

In der vorigen Aufgabe hast du ja schon die Vorarbeit geleistet und das Integral bzw die Fläche berechnet, die der graph von f in I mit der x-AChse einschliesst.

Diese Fläche liegt ja unterhalb der x-Achse.

Wenn das Integral der Differenzfunktion von f und g null werden soll, dann müssen die Flächen, die die Graphen von f und g jeweils mit der x-Achse einschließen ja betragsmäßig gleich gross sein.

Deshalb würde ich sagen, dass du nur noch eine Integralgleichung mit einer allgemeinen linearen Funktion g(x)=ax+b bilden musst und diese gleich dem obigen Flächeninhalt setzt und dann z.B. nach b auflöst.

Dadurch erhälst du ja dann deine Schar.

Gruß Björn

13.04.2007, 22:13

PG

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Wenn das Integral der Differenzfunktion von f und g null werden soll, dann müssen die Flächen, die die Graphen von f und g jeweils mit der x-Achse einschließen ja betragsmäßig gleich gross sein.

Stimmt...
Aber das habe ich ja oben auch raus.
Ich merke gerade, dass ich vorhin vergessen habe, die lineare Funktion zu integrieren Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} g(x)=ax+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G(x)=0,5ax^2+bx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,5a(\pi/2)^2+b(\pi/2)-0,5a(-\pi/2)^2-b(-\pi/2)=1\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b(\pi/2)+b(\pi/2)=1\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b\cdot\pi=1\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=1,5 \end{eqnarray*}$
Ich habe es so gemacht, wie du erwähnt hast. Und wie erhalte ich jetzt meine Schar? Das ist mir fragwürdig...

13.04.2007, 22:58

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} b\cdot\pi=1\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=1,5 \end{eqnarray*}$

Da wird sich der Arthur freuen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber wenn du dann richtig nach b auflöst komme ich auch auf dasselbe.

Wenn du b dann in g(x)=ax+b einsetzt enthält diese Funktionsgleichung ja nur noch den Parameter a....also kann man hier dann von einer von a abhängigen Geradenschar sprechen.

Gruß Björn

13.04.2007, 23:09

PG

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Zitat:

Original von Bjoern1982

Zitat:

$\begin{eqnarray*} b\cdot\pi=1\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=1,5 \end{eqnarray*}$

Da wird sich der Arthur freuen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Lol- und gerade diesen Fehler mache ich Hammer

Hammer

Aber Arthur hat recht, das ist mathematisch falsch ausgedrückt. Aber ich liebe diese Schreibweise Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} b=0,818 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_a(x)=ax+0,818 \end{eqnarray*}$

Ich fasse es einfach nicht... Genau das Gleiche habe ich vorhin auch gedacht(nur mein b war falsch, daher habe ich nachgefragt); aber dass immer das gleiche Ergebnis im gleichen Intervall unabhängig von der Steigung kommt, das liebe ich an der Mathematik...

Du hast mir echt viel geholfen, Bjoern.
Ich werde mich wahrscheinlich morgen hier wieder melden mit der letzten Aufgabe.

13.04.2007, 23:20

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} b=0,818 \end{eqnarray*}$

Joa...gerundet passt das schon.....in der Abi-Klausur nehm aber lieber das exakte Ergebnis smile

smile

Zitat:

Du hast mir echt viel geholfen, Bjoern.
Ich werde mich wahrscheinlich morgen hier wieder melden mit der letzten Aufgabe.

Gern geschehen....wär aber nicht schlecht wenn auch hier evtl nochmal ein Moderator drüber schaut....ich bin ja kein Mathelehrer und in der Regel irre ich mich häufiger als die Moderatoren Big Laugh

Big Laugh

Dann werd ich morgen nach dem Beachvolleyball auch nochmal vorbeischauen und gucken, was du noch so schönes zum rechnen hast.

Gute Nacht

Björn

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