vollständige induktion |
| 30.11.2003, 20:43 | traumzauberbaum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| vollständige induktion könnte mir vielleicht jemand an einem einfachen beispiel das prinzip der vollständigen induktion erklären. versteh das irgendwie gar nicht.... 
bin euch schon jetzt daaankbar 
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| 30.11.2003, 22:50 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: vollständige induktion NANA wer wird denn da gleich weinen. Also um es mal in meine einfachen Worte zu fassen beschäftigt sich die vollständige induktion damit, auf der basis von den Natürlichen Zahlen gewisse Funtionen oder Reihen oder... allgemeingültig zu formulieren Ein ganz einfaches Beispiel ist eines, welches ein berühmter MAthematiker Gauß erstellte. ER grübelte wie man die Zahlen von 1,2,3,...,100 in der Summe schnell berechnen konnte. Durch überlegungen behauptete er, das man alle Natürlichen Zahlen in der Form n(n+1)/2 berechnen kann. Nun zur vollständigen Induktion Man behauptet etwas: hier: n S k = n(n+1)/2 1 In Worten Die SUmme aller natürlichen Zahlen von 1bis n lassen sich in der Form von n(n+1)/2 darstellen Nun der erste Schritt der vollständigen Induktion. Man beweise , dass die Behauptung für n=1 gilt.[Die vollständige Induktion gilt nur für die natürlichen Zahlen] dann hat man auf der einen Seite die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis 1 =1 auf der andere 1*(1+1)/2 =1 Das heißt die Behauptung gilt: Daraus gilt die Induktionsvoraussetzung (IV) Es sei n €|N und es gelte für ein n Nun kommt der Induktionsschritt (IS) Man beweise, das es auch für die nächste Zahl gilt n-->n+1 DAs heißt, wenn man zeigen kann, dass diese Behauptung gilt, hat man gezeigt das für jedes beliebige n auch die nachfolgende ziffer gilt. Man setzt an und setzt überall für n=n+1 Das heißt man hat zu zeigen, Die Summe von (1 bis n+1 aller natürlichen Zahlen) darzustellen ist als (n+1)(n+1+1)/2 Nun wendet man bei fast allen Aufgaben einen Trick an. Man formt die SUmme so um, dass die Vorraussetzung einsetzbar ist. Aus der Summe kann man nun das letzte Glied rausholen und man erhält (n+1) +Summe(1bisn)k nun gilt ja nach der Vorraussetung, dass genau diese Summe gleich dem Bruch ist. DAs heißt man setzt für die Summe diesen Bruch ein und erhält demnach n+1 +n(n+1)/2 <=>2(n+1)/2 + n(n+1)/2 <=>(n+1)(2+n)/2 Nun siehst du, dass dies genau mit dem übereinstimmt was du angehommen hast. Demnach folgt die Behauptung per vollständiger Induktion Probiere es mal aus indem du die Summe von 1-100 ausrechnest. Ich hoffe ich habe nicht allzuviele Formulierungsfehler gemacht und entschuldige mich für die unzureichende Kenntnis des Einfügns von Grafiken 
Demnach sehen die Summen nicht so toll aus. Ich hoffe es hilft dir trotzdem Gruß Andreas (P.S.) Die Aussage , dass sich die vollständige Induktion nur auf natürliche Zahlen bezieht sich keinsteswegs auf das Ergebnis sondern darauf, das man nur natürliche zahlen einsetzt.) |
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| 01.12.2003, 15:53 | traumzauberbaum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
daaaanke andreas, super erklärt
hast mir echt geholfen, schick dir mal nen gaaaaaanz grosses lob aus berlin :] |
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| 04.12.2003, 18:55 | AndreR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also so ist das eigentlich nicht ganz richtitg. (Vollständige) Indruktion heißt einfach nur man schließt von einem Element auf die Gesamtheit. Deduktion ist das Gegenteil. |
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| 04.12.2003, 19:07 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja mir fehlten gerade die "Fachwörter" Er hat es ja verstanden :] |
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| 04.12.2003, 19:11 | jama | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist ne "sie" 
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