im Falle der Konvergenz Grenzwert bestimmen...

18.11.2004, 19:57

AJ20

im Falle der Konvergenz Grenzwert bestimmen...

hallo!

sitze jetzt seit stunden vor dieser aufgabe und weiß nicht, was ich rechnen muss. bin mit den konvergenz-kriterien herangegangen, aber irgendwie hilft es mir nicht weiter...

a) Sei a1 Element R\{0}. Für n Element N definiere an+1 (n+1 als Indizes) := 1/2 (an+1/an) (n als Indizes). Untersuchen Sie, für welche a1 die Folge (an) konvergiert. Bestimmen Sie im Falle der Konvergenz der Grenzwert.

b) Sei b1 := 0. Für n Element N definiere bn+1 := wurzel aus 2+bn. Untersuchen Sie, ob die Folge (bn) konvergiert und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

19.11.2004, 00:19

Mathespezialschüler

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Wenn du bewiesen hast, dass die Folgen konvergieren, kannst du ihren Grenzwert ganz einfach bestimmen:
Lasse einfach in der Rekursionsformel n gegen unendlich laufen! Wenn du bei b) z.B. den Grenzwert mit $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ bezeichnest, dann bekommst du

$\begin{eqnarray*} \beta=\sqrt{2+\beta} \end{eqnarray*}$

und kannst die Gleichung nach dem Grenzwert auflösen. Gleiches bei a). Augenzwinkern

09.12.2004, 09:18

cmenke

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Vielen Dank für diesen wertvollen Hinweis, Herr Spambaron......

Heißt es in der 1. Aufgabe wirklich

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} := \frac{1}{2} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$

mit a_n+1 in der Definition von a_n+1? Ich dachte immer, das geht doch gar nicht. Wie soll man zum Berechnen von a_n+1 denn a_n+1 benutzen, wenn man es noch gar nicht kennt???

09.12.2004, 09:58

Gast

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Zitat:

Original von cmenke
Vielen Dank für diesen wertvollen Hinweis, Herr Spambaron......

Heißt es in der 1. Aufgabe wirklich

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} := \frac{1}{2} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$

mit a_n+1 in der Definition von a_n+1? Ich dachte immer, das geht doch gar nicht. Wie soll man zum Berechnen von a_n+1 denn a_n+1 benutzen, wenn man es noch gar nicht kennt???

Ich verstehe die Aufgabe so:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}:=\frac{a_n+1}{2a_n} \end{eqnarray*}$

Die Folge ist allerdings nicht monoton, daher sollte für die Konvergenz mit dem Einschließungskriterium oder mittels expliziter Darstellung der Folgeglieder argumentiert werden. Der Grenzwert ist 1.

09.12.2004, 10:29

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Tja, wäre nicht schlecht, wenn sich AJ20 für eine Variante entscheiden würde...

Ich werfe mal die Interpretations-Variante

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right) \end{eqnarray*}$ ,

in den Ring - das ist ein Spezialfall der Quadratwurzel-Approximation nach Newton-Verfahren

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{A}{a_n}\right) \end{eqnarray*}$ ,

für A=1, diese Folge ist hier im Forum bestimmt schon mehrfach diskutiert worden, vielleicht kann mal einer der Moderatoren einen Link setzen...

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