windschiefe Geraden - kürzester Abstand

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m. Auf diesen Beitrag antworten »
windschiefe Geraden - kürzester Abstand
Folgendes Problem:
1. Gerade g:x=(8|4|13)+r*(3|3|7)
2. Gerade h:x=(1|3|2)+s*(1|1|4)

so der abstand ist easy d=12/sqrt(2)
aber wie bilde ich die Punkte mit dem kürseten abstand? ich habe folgenden ansatz: P2=P1+2*n0*d. die geraden müssen die Tangenten eines Kreises seien, deren Berührungspunkte P1 und P2 sind wenn das Volumen minimiert wird.
Aber erst ein Extremalproblem daraus zu machen ist doch Wahnsinn dann werd ich ja nie fertig in einer arbeit. Was sind eure Vorschläge?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

siehe hier
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: windschiefe Geraden - kürzester Abstand
nach der skizze ist:


daraus r, s , t ->P(r), Q(s), /PQ/

werner
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Ist denn jemand hier, der so eine Aufgabe mit Hilfe der Vektorrechnung mit den gegebenen Zahlen vorrechnen kann, damit ich mal sehe, wie es auf diese Weise geht ?

Ich rechne nämlich mühsam, weil ich es nicht anders weiß, mit e = Abstand von 2 Punkten auf den beiden windschiefen Geraden:

e^2 = (xg-xh)^2 + (yg-yh)^2 + (zg-zh)^2
also
e^2 = (8+3r-1-s)^2 + (4+3r-3-s)^2 + (13+7r-2-4s)^2

Diese Gleichung nun jeweils differenziert nach r und nach s, und die beiden erhaltenen Gleichungen gleich 0 gesetzt zur Bestimmung des Minimums des Abstands (Extremwertbestimmung, hier eigentlich des Quadrates des Abstands, kommt auf das gleiche raus), ergibt 2 Gleichungen für die beiden Unbekannten r und s mit den Lösungen

r = -1
s = 1

und damit für die Punkte auf den Geraden
(xg|yg|zg) = (5|1|6)
(xh|yh|zh) = (2|4|6)

und für den kürzesten Abstand e = 3*sqrt(2)


Aber ich finde einfach keinen Ansatz, wie ich mit Hilfe von

OP = a + r*u = b +s*v +t*n
daraus r, s , t ->P(r), Q(s), /PQ/

vorgehen muss.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

hallo etzwane,
ich versuche es mal, also nach dem bild mit obiger aufgabe

1. Gerade g:x=(8|4|13)+r*(3|3|7)
2. Gerade h:x=(1|3|2)+s*(1|1|4)

zunächächst der normalenvektor n





8 + 3r = 1 + s + t usw.

ergibt: t = 3, r = -1, s = 1

nun liegt P auf g und Q auf h:

P = (8, 4, 13) + r*(3,3,7) mit r = -1 --> P(5,1,6)
Q = (1,3,2) + 1*(1,1,4) -> Q(2,4,6)



jetzt bin ich schweißgebadet, dieser formeleditor
gruß
werner
knatterton Auf diesen Beitrag antworten »

Kombiniere:
Das Kreuzprodukt muss nicht unbedingt bekannt sein.
Dann braucht man für die Berechnung von des Vektors n die Senkrecht - Bedingungen:

Nick
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

hallo knatterton,
ja natürlich, wenn bekannt ist, brauchst du diesen vektor NICHT zu berechnen, aber ansonsten erfüllt eben das kreuz(vektor)produkt, genau die bedingung, dass es auf beide vektoren senkrecht steht, und das ist wieder notwendig zur ermittlung des kürzesten abstands.
werner
knatterton Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vektor n wird OHNE Kreuzprodukt berechnet durch:


,
wobei wegen der nicht benötigten Länge von n die übrig bleibende Komponente als "1" gewählt werden kann.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

@wernerrin

danke, ich hab's jetzt verstanden.

Und es läuft letztendlich auch auf die Lösung eines Gleichungssystems hinaus.

gruß
etzwane
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