Existiert eine injektive Abbildung RxR -> R |
| 19.11.2004, 10:03 | NoXx4life | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Existiert eine injektive Abbildung RxR -> R Unser Prof hat uns zur Aufgabe gemacht, wir sollten doch mal schauen, ob eine injektive Abbildung RxR nach R existiert. Leider bin ich grad am verzweifeln. Komm überhaupt nicht drauf. Brauch also euere Hilfe. MFG |
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| 19.11.2004, 14:50 | eule | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es gibt eine. Sogar bijektiv (aber nicht stetig). |
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| 19.11.2004, 15:40 | NoXx4life | Auf diesen Beitrag antworten » |
Und die wäre? Komm spann mich nicht so auf die Folter. Plz |
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| 19.11.2004, 16:07 | Raumpfleger | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo NoXx4Life, diese bijektive Abbildung von R x R auf R ist eine ganz berühmte Sache, ich weiss nicht, ob es noch einen anderen Beweis dafür gibt. Ich weiss auch nicht, wie man den Beweis andeuten soll, ohne ihn auszuführen. Satz: Die Menge R^2 aller geordneten Paare von reellen Zahlen (also die reelle Ebene) hat dieselbe Mächtigkeit wie R. Beweis (Aigner/Ziegler, Buch der Beweise, 2.Aufl., S. 117): Um das zu sehen, genügt es zu beweisen, dass die Menge aller Paare (x,y) mit 0 <= x,y < 1 bijektiv auf (0,1] abgebildet werden kann. Betrachten wir das Paar (x,y) und schreiben wir x, y in ihrer eindeutigen unendlichen (d.h. 0.7 == 0.699999999999999999999999999....999....) Dezimaldarstellung wie in dem folgenden Beispiel: x = 0.3 01 2 007 08 ... y = 0.009 2 05 1 0008 ... Man beachte, dass wir dabei die Ziffern x und y in Gruppen aufgeschrieben haben, wobei wir jeweils bis zur nächsten Ziffer ungleich Null gehen. Nun assoziieren wir zu (x,y) die Zahl z aus (0,1], indem wir die erste x-Gruppe hinschreiben, dann die erste y-Gruppe, dann die zweite x-Gruppe usw. In unserem Beispiel erhalten wir somit z = 0.3 009 01 2 2 05 007 1 08 0008 ... Da weder x noch y ab einem gewissen Punkt nur noch Nullen enthalten, finden wir, dass der Ausdruck für z eine nicht-endende Dezimaldarstellung ist. Umgekehrt können wir aus der Entwicklung von z unmittelbar das Urbild (x,y) ablesen wz.b.w. |
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