Stammfunktion gesucht

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19.11.2004, 15:45	Shayariel	Auf diesen Beitrag antworten »
Stammfunktion gesucht Hi. Kann mir jemand erklären, wie man von dieser Funktion f(x) = $\begin{eqnarray} 6\sqrt{\frac{25}{16}-x^{2} } \end{eqnarray}$ die Stammfunktion bildet? Irgendwie werde ich daraus nicht wirklich schlau. Danke für eure Hilfe.
19.11.2004, 15:56	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
Sagt dir die Substitutionsregel etwas? $\begin{eqnarray} f(g(x)) \end{eqnarray}$ Nun ersetzst du g(x) durch z und dann machst du folgendes: $\begin{eqnarray} z = g(x) \\ z' = \frac{dz}{dx} \end{eqnarray}$ Also leitest du z ab und dann löst du nach dx auf und ersetzst dies dann im Integral f(z). Das sieht dann so aus: $\begin{eqnarray} \int~f(g(x))~dx = \int~f(z)~\frac{dz}{z'} \end{eqnarray}$ Das ist das Prinzip der Substitution. Versuchs mal oder frag, wenn du nicht verstanden hast, wie man das macht. In deinem Beispiel ist $\begin{eqnarray} f(x) = 6\sqrt{g(x)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x)=\frac{25}{16}-x^{2} \end{eqnarray}$ mfg
19.11.2004, 16:06	Shayariel	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich werde mich gleich mal ans Ausprobieren machen, nachdem ich meine Plätzchen fertig gemacht habe. Klingt zwar kompliziert, aber ich denke, das geht...
19.11.2004, 16:15	Shayariel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok... Ich glaube mit "das geht schon" habe ich mich geirrt. Je öfter ich mir durchlese, was du geschrieben hast, desto weniger verstehe ich es. Ich sehe überhaupt keinen Zusammenhang zwischen den einzelnen Sachen, die du geschrieben hast. Und vorallem: Was mache ich dann mit g(x)? Sorry, aber ich habe gerade ein riesiges Brett vor dem Kopf...
19.11.2004, 16:39	Jan	Auf diesen Beitrag antworten »
@steve: wie willst du das mit dem ansatz denn machen? so, wie das dort steht, würde doch der term für z' wieder ein x enthalten? oder seh ich jetzt gerade was völlig falsch?
19.11.2004, 17:10	guest	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip schon. Dafür muss man aber einfach z=g(x) nach umstellen und einsetzten. Dann sind i.A. alle x weg ....
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19.11.2004, 17:20	Jan	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, weg krieg ich das x dadurch natürlich. aber wenn ich g(x) nach x auflöse, dann hab ich doch wieder eine wurzel mehr, und im endeffekt nichts gewonnen - zumindest in diesem fall hier...
19.11.2004, 17:32	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
@Shayariel: Naja, ich dachte, die Substitutionsregel hättest du schon einmal gesehen. Also dann geb ich dir einen Ansatz: Wie gesagt: $\begin{eqnarray} f(x) = 6\sqrt{g(x)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x)=\frac{25}{16}-x^{2} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} z = g(x)=\frac{25}{16}-x^{2} \end{eqnarray}$ Und nun setzst du z ein: $\begin{eqnarray} f(x) = 6\sqrt{z} \end{eqnarray}$ Nun sieht das Integral so aus: $\begin{eqnarray} \int~f(z)~dx \end{eqnarray}$ Das ist aber nicht lösbar, da kein x mehr vorkommt. Also müssen wir dx irgendwie durch ein dz ersetzen. Wie geht das nun? Aus der Differentialrechnung wissen wir: $\begin{eqnarray} y' = \frac{dy}{dx} \end{eqnarray}$ Daraus folgern wir: $\begin{eqnarray} z' = \frac{dz}{dx} \\ ==> dx = \frac{dz}{z'} \end{eqnarray}$ und nun kannst du dx beim Integral ersetzen, was dann so aussieht: $\begin{eqnarray} \int~f(z)~\frac{dz}{z'} = \int~f(z)~\frac{1}{z'} \cdot dz \end{eqnarray}$ Und in deinem Beispiel: $\begin{eqnarray} \int~6\sqrt{z}~ \cdot \frac{1}{z'} \cdot dz \end{eqnarray}$ Verstehst du es jetzt? Jetzt musst du einfach nach z integrieren und am Schluss z wieder durch $\begin{eqnarray} z = \frac{25}{16}-x^{2} \end{eqnarray}$ ersetzen. mfg
19.11.2004, 18:16	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stammfunktion gesucht wenn $\begin{eqnarray} f(x)=6\cdot \sqrt{ \frac{16}{25} -x^{2} } \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} f(x)= \sqrt[6]{\frac{16}{25} -x^{2} } \end{eqnarray}$ (was soweit ich dem bronstein entnehme nicht geschlossen lösbar ist) dann also nach : integrale, die $\begin{eqnarray} \sqrt{ a^{2} -x^{2} } \end{eqnarray}$ enthalten, mit $\begin{eqnarray} X =a^{2} -x^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int~ \sqrt{X} ~dx = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot \sqrt{X} +a^{2} \cdot \arcsin(\frac{x}{a} )) \end{eqnarray}$ werner
19.11.2004, 18:31	Shayariel	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke nochmals! Ich glaube, jetzt verstehe ich solangsam. Ja, ich hatte die Substitutionsegel vorher nie gesehen und eigentlich brauch ich dir noch gar nicht, aber eben für diese eine Aufgabe schon. Hat nichts mit dem Unterricht zu tun, sondern wird lediglich aus privatem Interesse von mir bearbeitet. Also danke!

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