konvexe Hülle / Kegelhülle

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Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »
konvexe Hülle / Kegelhülle
Hi...

ich habe eine Menge N gegeben:



jetzt soll ich conv(N) und cone(N) bestimmen. Dabei ist conv(N) die kleinste konvexe Menge, die N enthält und cone(N) der kleinste konvexe Kegel, der N enthält.

Ich hab mir die Menge mal aufgezeichnet. Sie besitzt also eine Spitze im Punkt (x1,x2) = (0,1) und fällt symmetrisch nach beiden Seiten ab.

für conv(N) habe ich mir überlegt, dass ja mit zwei Punkten auch die Verbindungslinie mit in der Menge sein muss. Als Punkte die ich betrachtet habe , habe ich folgende genommen:



wenn man jetzt n gegen unendlich laufen lässt dann ist die Verbindungsgerade immer näher an der konstanten Geraden, durch den Punkt 1.

Deswegen ist

Womit ich aber noch nicht ganz klar komme ist cone(N).

Es muss ja jede beliebige positive Linearkombination von Punkten aus (N) wieder in cone(N) liegen.

ist dann cone(N) die ganze Halbebene, bei der x_2 positiv ist? - kann ich mir irgendwie nicht vorstellen... - und ich weiß auch nicht ganz wie ich da rechnerisch rangehen sollte...
Divergenz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: konvexe Hülle / Kegelhülle
Hallo,

es gilt meines Wissens immer: .
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

das würde meine Vermutung ja verstärken...

aber solange wir das nicht bewiesen haben, darf ich das sicher nicht nutzen...

trotzdem danke erstmal...

geht's auch zu zeigen?
Divergenz Auf diesen Beitrag antworten »

Da steckt eigentlich nicht viel dahinter. cone(N) soll der kleinste konvexe Kegel sein, der N enthält! Nun damit ist klar, dass cone(N)=cone(conv(N)) gilt, wegen der Konvexität! Der Rest ist dann nur noch die Kegeleigenschaft!
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

also würdest du mit mir übereinstimmen, dass:

Divergenz Auf diesen Beitrag antworten »

Auf jeden Fall!
Das sieht man in diesem Fall natürlich auch einfacher! Für jedes gilt für . Es gibt in N nun einen Halbkreis mit Mittelpunkt 0 in der oberen Halbebene, so dass die gesamte Halbebene im Kegel sein muss. Da in der unteren Halbebene kein Element aus N liegt, muss der Kegel also auch nicht größer sein.
 
 
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die Antworten... - hab's begriffen, denk ich Tanzen
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