Beweis am Viereck I

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Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis am Viereck I
Man zeige:

a + b <= e + f <= U

Ich kenn die Lösung...ich denke, für den Anfang ists ne interessante Aufgabe...
Ich werde dann noch mehr posten, wenn ihr Spass daran habt...

mfg
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

Für was sollen die Variablen stehen?

Ich nehme an a,b,e,f,U E |R > 0 und führe den Beweis durch Widerspruch:

a=1000, b=2000, e=300, f=500, U=1

3000>800>1, damit ist die Formel widerlegt Augenzwinkern
asphys Auf diesen Beitrag antworten »

du musst es doch allgemein lösen außerdem da es ja geometriepost ist stehen a und b ja für seiten e und f für diagonalen und U für den Umfang aber noch ne frage soll daß ein rechtwinkliger viereck sein?
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Widerspruch reicht um einen Satz zu widerlegen. Da braucht es nichts Allgemeines..

Die Buchstaben könnten genau so Seiten eines unregelmäßigen Fünf-Ecks (->f) oder Beträge von regelmäßigen Hyperflächen in einem n-Dimensionalen-Vektorraum (wobei U die Dimension angibt) sein Augenzwinkern
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte mir auch genauere Informationen zu den Variablen gewünscht Augenzwinkern

Dass U der Umfang ist kann man sich ja noch erschließen. Aber bei den restlichen Seiten war ich mir nicht so sicher - also Steve, wenn du willst dass wir diese Knacknuss lösen, dann gib uns doch bitte mehr Infos Augenzwinkern
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, mein Fehler...
sollte sich um ein allgemeines viereck handeln.

a, b, c, d für die Seiten (natürlich im Uhrzeigersinn angegeben, oder umgekehrt, auf jedne Fall in einer Reihenfolge)
und e und f sind die Diagonalen...

und jetzt möchte ich nochmal sehen, ob der Meromorpher das immer noch wiederlegen kann...

mfg
 
 
alpha Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich glaube die meisten (so wie Meromorpher können sich darunter nicht gut was vorstellen... deshalb hier eine zeichnung und (nicht dazu) eine modellrechnung...

wir haben ein rechteck mit den seitenlängen a=3 und b=4. dabei gilt: e=f=5 U=14
also 7<10<14

ich denke mal wir fange mit dem wirklich leichtesten an, dass a+b<=U ist...
alpha Auf diesen Beitrag antworten »

so, ich denke mal, der letzte post liegt lang genug zurück...
ich hab mir mal den kopf zerbrochen und bei mir kommt raus, dass a+b<=U und e+f<=U ist (der beweis kommt noch) aber für a+b<=e+f hab ich ein gegenbeispiel:
wenn A und D zusammenfallen haben wir ein dreieck, wo die a=f ist. also müsste für jedes dreieck gelten, dass b<=e ist... und in meinem bild ist das ersichtlich nicht der fall... und ich denke, dass das auch bei vierecken ähnlich gilt...
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

gut...hab die Aufgabe aus dem französischen übersetzt. Deshalb war sie so "schwammig"

Es handelt sich um ein konvexes allgemeines Viereck.
Also mit 4 Ecken und normaler Form...

und jetzt müsste man das noch beweisen, die Aussagen. (Ist eigentlich eine leichte Aufgabe)

mfg
alpha Auf diesen Beitrag antworten »

ich trag mal meinen beweis vor:
ich bediene mich im beweis der tatsache, dass in einem dreieck a+b>=c ist.
in einem viereck gibt es die dreiecke:
ABC, BCD, CDA und DAB
für diese Dreiecke gilt nach tatsache:
a+b>=e
b+c>=f
c+d>=e
d+a>=f
folglich gilt:
a+b+c+d>=2e
und
a+b+c+d>=2f
folglich gilt auch:
2(a+b+c+d)>=2e+2f=2(e+f) |:2
a+b+c+d>=e+f
und da U=a+b+c+d ist der zweite teil bewiesen.
q.e.d. Augenzwinkern

um mal konvex genauer zu definieren (normales viereck ist für meinen geschmack ein wenig zu wenig definiert Augenzwinkern ):
die innenwinkel des vierecks müssen alle unter180° liegen.
andere definition:
ein viereck ist nicht konvex, wenn mindestens 2 punkte im viereck wählen lassen, so dass gilt, dass die Strecke AB teilweise außerhalb des dreiecks liegt.

PS:
rechne doch mal die erste ungleichung für das folgende viereck aus...
A(0|-4), B(5|-3), C(-3|1) und D(-1|-3)
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

hm...die zweite Ungleichung stimmt.
Habs mit den anderen Angaben mal ausgerechnet.
Keine Ahnung, wieso das aufgeht.
Vielleicht hab ich die Aufgabe falsch interpretiert (ich kann nicht gut französisch)

Ok...hatte die Aufgabe falsch im Kopf (sorry...das nächste mal schau ich wieder genauer nach)

Die komplette Ungleichung lautet:

AB + CD < AC + BD < AB + BC + CD + DA

so, jetzt sollts stimmen Big Laugh

mfg
alpha Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab jetzt zwar keinen Beweis, wenn mans genau nimmt, aber ich denke mal damit wäre das Rätsel gelöst:
http://de.web-z.net/~mathe/attachment.php?attachmentid=228&sid=
Wie man hier sehen kann, ist a+c=e+f für den fall, dass d=0 ist.
Wenn nun d vergrößert wird und das Viereck konvex ist, ist e bzw. f automatisch größer als jeweils a bzw. c
Und hier fehlt mir der Beweis... ich seh das halt, aber wirklich stichfest ist das nicht... :P

PS:
Wo wir schon beim beweisen sind, kann sich nochmal einer meiner Aufgaben annehmen? (fänd ich nett Augenzwinkern )
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

aber du nimmst auch ein Dreieck und kein konvexes Viereck...

mfg
alpha Auf diesen Beitrag antworten »

also ich versuche jetzt mal zu lösen:
ich denke mal, der zweite teil der gleichung war klar...
beim ersten teil bediene man sich wieder der dreiecksungleichung:
wir nennen den Schnittpunkt der Diagonalen mal M.
Die Strecke AM nennen wir e1, die Strecke BM nennen wir f1, die Strecke CM nennen wir e2 und die Strecke DM nennen wir f2.
dabei gilt, nach der dreiecksungleichung:
a<=e1+f1 und b<=e2+f2 folglich
a+b<=e1+f1+e2+f2=e+f
q.e.d.

ich denke mal, damit haben wir es... wenn die zweite ungleichung bewiesen ist ist folglich auch das ganze wahr...
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

gut das wars Augenzwinkern
Ist die Lösung schon in die Tipps eingetragen?
Sonst mach ich das noch...

mfg
alpha Auf diesen Beitrag antworten »

ne, ist nicht...
aber es reicht doch, wenn die lösung schon hier steht...

es heißt doch auch:
"Klick Hier für die Lösung | Diskussion | Erklärung"
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

ok Augenzwinkern
Lassen wir das also smile

Dann kannst du ja bei der nächsten Aufgabe weitermachen (die ist ein wenig schwieriger, aber mMn auch noch leicht Augenzwinkern )

mfg
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