(1+i)^n umschreiben

11.04.2007, 13:02	marie23	Auf diesen Beitrag antworten »
(1+i)^n umschreiben thema komplexe gleichungen umformen in die form: a+bi a) (1+i)^n hab ich erstmal mit summenzeichen geschrieben, nach ein paar versuchen hab ich rausbekommen: n über 0 - n über 2 - n über 4 - usw. ist der realteil n über 1 - n über 3 - n über 5 - usw. ist der imaginäre teil wie kann ich das denn nun noch schön aufschreiben? vielen dank schonmal! liebe grüße, marie
11.04.2007, 13:07	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Summenzeichen is doch schonmal ziemlich schön oder nicht ? Alternativ wäre die Exponentialschreibweise zu empfehlen.
11.04.2007, 13:14	marie23	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (1+i)^n umschreiben achso: (n über 0) + (n über 1)i - (n über 2) - (n über 3)i + (n über 4) + (n über 5)i - (n über 6) und vorzeichen wieder von vorne
11.04.2007, 13:33	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (1+i)^n umschreiben Nee, das war anders gemeint. Schreibe erstmal 1+i in der Form $\begin{eqnarray} r \cdot e^{i\phi} \end{eqnarray}$ mit geeigneten Werten r und phi.
11.04.2007, 13:39	marie23	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (1+i)^n umschreiben phi?
11.04.2007, 13:40	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Drehwinkel oder das Argument der Komplexen Zahl. Das $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$
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11.04.2007, 13:45	marie23	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt werft ihr mich zurück, ich dachte ich wär schon fertig mit der aufgabe.... und euren ansatz hatten wir so noch nicht...
11.04.2007, 15:21	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also wenn ihr Polarkoordinaten noch nicht hattet, dann wirst du diese auch nicht benutzen müssen. Allerdings ergibt sich mit ihnen (leichter) eine schönere Darstellung des Real- und Imaginärteils. Exemplarisch zeige ich dir mal die Darstellung des Realteils: $\begin{eqnarray} ()\quad\mathrm{Re}{(1+i)^n} = \begin{cases} (-1)^{\frac{n}{4}}, & \text{falls } n\equiv 0 \pmod 4 \\ \frac{(-1)^{\frac{n-1}{4}}}{\sqrt{2}}, & \text{falls } n\equiv 1 \pmod 4 \\ 0, & \text{falls } n\equiv 2 \pmod 4 \\ \frac{(-1)^{\frac{n+1}{4}}}{\sqrt{2}}, & \text{falls } n\equiv 3 \pmod 4 \end{cases} \end{eqnarray}$ EDIT: Da habe ich einen Faktor übersehen, nämlich das $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ vor der Klammer Bei der Gleichung () müsste links $\begin{eqnarray} \cos\frac{\pi n}{4} \end{eqnarray}$ stehen, dann stimmt es (aber mit dem Faktor geht es deutlich einfacher ). EDIT 2: Statt $\begin{eqnarray} \mathrm{Re}{(1+i)^n} \end{eqnarray}$ schreibe $\begin{eqnarray} \frac{1}{(\sqrt{2})^n}\cdot\mathrm{Re}{(1+i)^n} \end{eqnarray}$ bei (). Und dann einfach mit $\begin{eqnarray} (\sqrt{2})^n \end{eqnarray*}$ durchmultiplizieren. Gruß, therisen
11.04.2007, 15:52	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
??? $\begin{eqnarray} (1 + \operatorname{i} )^2 = 2 \operatorname{i} \end{eqnarray}$ Und das ist der Schlüssel zu allem. Insbesondere ist dann $\begin{eqnarray} (1 + \operatorname{i} )^4 = \left( 2 \operatorname{i} \right)^2 = -4 \end{eqnarray}$ Zum Beispiel: $\begin{eqnarray} (1 + \operatorname{i})^{103} = (1 + \operatorname{i})^{100} \cdot (1 + \operatorname{i})^2 \cdot (1 + \operatorname{i}) = (-4)^{25} \cdot 2 \operatorname{i} \cdot (1 + \operatorname{i}) \end{eqnarray}$
12.04.2007, 02:22	marie23	Auf diesen Beitrag antworten »
super, vielen dank jungs!

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