Rechtecke gleicher Umfang => Quadrat größter Flächeninhalt |
| 19.11.2004, 18:45 | robertino | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Rechtecke gleicher Umfang => Quadrat größter Flächeninhalt
also ich komme da nicht weiter!! habe eine aufgabe auf morgen bekommen, aber ich hab überhaupt keine ahnung wie ich das berechnen muss!! [attach]26015[/attach] Aufgabe lautet: Zeige, dass von allen Rechtecken mit gleichem Umfang das Quadrat den grösten Flächeninhalt hat. 
edit von sulo: Grafik eingefügt |
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| 19.11.2004, 19:03 | carsten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit Hilfer der Differentialrechnung ist das recht einfach. Man stellt sich ein paar Gleichungen auf: Die Rechtecke haben die Seitenlaengen a und b. Der Umfang sei immer u. Jetzt stellt man 2 Gleichungen auf, eine fuer den Umfang und eine fuer den Flaecheninhalt. Gesucht ist jetzt das Maximum des Flaecheninhaltes (-> ableiten). Gruesse Carsten |
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| 19.11.2004, 19:17 | robertino | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe mich gleich im Lexikon umgesehen was Differentialrechnung ist, doch das ist mir zu unverständlich da ich dieses Thema noch nicht durchgenommen habe!! Wir sind gerade am Thema binomische Formeln.. Das problem liegt auch daran das ich nicht draufkomme wie ich es berechnen soll 
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| 19.11.2004, 19:36 | carsten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann machen wir das ein wenig anders. Geht genauso auch ohne Differentialrechnung. Bleiben wir mal bei den Seiten a und b des Rechteckes. Wie kann ich dann den Umfang u ueber a und b ausdruecken? Und wie gross ist der Flaecheninhalt des Rechteckes? Gruesse Carsten |
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| 19.11.2004, 19:45 | robertino | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja danke, aber das habe ich mir schon notiert: 1) U = 2a + 2b A = ab 2) U = 4a A = 3) U = 2a + 2b A = ab |
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| 19.11.2004, 19:48 | carsten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast also 2 Gleichungen: U=2a+2b A=ab und du moechtest A maximieren. U ist immer konstant. Es waere doch am besten wenn man moeglichst statt a oder b das U in die zweite Gleichung bekommt. Also erste Gleichung umstellen und in die zweite einsetzen. Dann hat man nur noch eine unbekannte in der zweiten Gleichung. Gruesse Carsten |
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| 19.11.2004, 20:11 | robertino | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist ja nett das du mir ganz genau hilfst, aber ich bin mir nciht so sicher habe mir ein beispiel gemacht: a = 4, b = 2 A = a*b = 8 U = 2*a + 2*b = 12 d.h. 8 = 12
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| 19.11.2004, 20:16 | carsten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich meinte die Formel mit dem Umfang z.B. nach b umstellen und das was Du fuer b erhaeltst anstatts b in die Formel mit dem Flaecheinhalt einsetzen. Gruesse Carsten |
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| 19.11.2004, 20:24 | robertino | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, dann ahbe ich folgendes bekommen: 
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| 19.11.2004, 20:28 | robertino | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich muss mich registrieren sonst kann ich nciht editieren. also habe gerade weiter probiert: 
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| 19.11.2004, 20:28 | carsten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok und jetzt in A=ab fuer b einsetzen. Das ergibt dann eine Funktion fuer A in Abhaengigkeit von a. Dessen Maximum laesst sich ziemlich leicht bestimmen. Das liefert den Wert fuer a. Gruesse Carsten Edit: was du in A eingestzt hast ist falsch, A=a*b und nur fuer b den obigen Term einsetzen. |
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| 19.11.2004, 20:42 | robertino | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja vielen dank habs glaube ich begriffen: ich wollte a schreiben nicht u also dann habe ich es mal ausprobiert und es hat gestummen wenn du nun auch zustimmst: Quadrat : a = 4 ; b = 4 Formel einsetzen: = Rechteck : a = 3 ; b = 5 Formel einsetzen: = Bei dieser Rechnung stimmt es also!! cool 
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| 19.11.2004, 20:47 | carsten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist zwar richtig was du gemacht hast, aber ziemlich nutzlos
. Man mochte gern eine Unbekannte eleminieren. Du hast b eleminiert und durch U und a ersetzt und dann auch a eleminiert und durch b und U ersetzt, damit kommt das b wieder in die Gleichung, was nicht schoen ist. Also nur b ersetzen liefert:Diese Gleichung ausmultiplizieren und als Funktion A(a) zeichnen. Dann sollte man das Maximum fuer a bestimmen koennen. Gruesse Carsten |
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| 19.11.2004, 21:15 | gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die Aufgabe ist ganz einfach wenn man einen kleinen Trick anwendet (wie so oft bei Mathe) : der Umfang vom Quadrat ist : u = 4*a = 2*a +2*a jetzt kann man sich überlegen das die eine Seite eines Rechtecks ein bisschen kürzer , und die ander ein bischen länger ist als die vom Quadrat, also sieht der Umfang eines Rechtecks so aus : u = 2*(a-c) + 2*(a+c) = 4*a das ist der Trick, der Umfang bleibt gleich nur die Seiten änder sich, die beide Seite vom Rechteck sind also : m = a+c und n = a-c jetzt braucht man nur noch den Flächeninhlat ausrechnen : Quadrat : A = a*a Rechteck : A = (a-c)*(a+c) = a*a - c*c und da a*a - c*c kleiner ist als c*c hast du den Beweis erbracht :-) |
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| 19.11.2004, 21:26 | robertino | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
deine lösung ist noch recht logisch!!!
aber ich kapier das nich wiso das nur 4a ergit wo bleibt das c?? 
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| 19.11.2004, 21:29 | gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
einfach mal die gleichung auflösen : 2*(a-c) + 2*(a+c) = 2*a - 2*c + 2*a - 2*c = 2*a + 2*a +(2*c - 2*c) siehst du es jetzt ;-) |
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| 19.11.2004, 21:39 | robertino | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aha so simple und doch nichts kapiert bist ein genie, cool 
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