Konvergenz von Integralen!

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11.04.2007, 14:43	Patrick.n.B	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Integralen! Hallo möchte die Konvergenz folgender Integrale untersuchen! $\begin{eqnarray} \int_{2}^{\infty}~sin 1/x²~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2}~sin 1/x²~dx \end{eqnarray}$ kann mir schon denken das eins konvergiert und eines nicht! Aber wie komme ich da hin? Will das Integral ausrechnen ,doch da hapert es schon...finde keine geeignete Substitution??Weiss jemand Rat?
11.04.2007, 14:48	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du es so? $\begin{eqnarray} \int~\sin{\left(\frac{1}{x^2}\right)}\,\dx \end{eqnarray}$ Da wirst du (wenn ich mich richtig erinnere) keine Stammfunktion finden um es auszurechnen. Eine Idee wäre, den Sinus als Taylorreihe zu schreiben.
11.04.2007, 14:54	Patrick.n.B	Auf diesen Beitrag antworten »
du hast die grenzen vergessen,aber ansonsten ist es richtig...keine stammfunktion?das würde erklären warum ich seit 3 stunden mit jegmöglicher substitution zu keinen ergebniss gekommen bin!gibts eine andere möglichkeit als taylor?was ist mit dem Vergleichskriterium?
11.04.2007, 14:56	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, für das erste Integral wäre folgende Abschätzung hilfreich: Es gilt stets $\begin{eqnarray} \sin \frac{1}{x^2}\le\frac{1}{x^2} \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} sin\, t\le t \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t\ge 0 \end{eqnarray}$ . Außerdem, weißt du, dass dein Integrand im Integrationsbereich nichtnegativ ist. Also gilt $\begin{eqnarray} \int_2^\infty\sin\frac{1}{x^2}\,dx\le\int_2^\infty\frac{dx}{x^2}<\infty \end{eqnarray}$ , somit existiert dieses Integral.
11.04.2007, 15:01	Patrick.n.B	Auf diesen Beitrag antworten »
@Divergenz ok soweit verstanden,hatte das kriterium auch vor mir,mich haben die Integralsgrenzen verwirrt!Habe mit $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ doch eine Singularität!Dachte ich spalte das Integral auf,und berechne es dann für 1/x²??
11.04.2007, 15:06	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
\infty ist hier aber wie du siehst nicht das Problem. Es ist die 0. Das mit dem Aufspalten ist ja auch soweit okay, man kan auf diese Weise sogar zeigen, dass das Integral $\begin{eqnarray} \int_\varepsilon^\infty\sin\frac{1}{x^2}\,dx \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ existiert. Wie man aber an die 0 selbst kommt, sehe ich im Moment auch noch nicht!
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11.04.2007, 15:07	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab hier mal für ein (zumindest ein bisschen) ähnliches Integral nen Vorschlag gemacht, ich vermute ähnliches würde hier auch klappen, allerdings sehe ich das im Moment nicht genau wie, aber ja evtl. du ?
11.04.2007, 15:09	Patrick.n.B	Auf diesen Beitrag antworten »
ich soll es ja auf konvergenz untersuchen,also muss ich ja den wert des integrals aurechnen(integral 1).. würde es von 2 bis a ausrechnen für a gegen unendlich!also stammfunktion von 1/x² 2 und a(gegen unendlich) einsetzten und fertig!oder?
11.04.2007, 15:13	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, auf Konvergenz untersuchen, heißt ja nicht unbedingt den Grenzwert ermitteln! Die Methode über die Majorante beweißt nur die Konvergenz (ohne Grenzwert), also die Existenz des Integrals, was zur Aufgabenstellung genug wäre. Wie gesagt, der Grenzwert für die obere Grenze ist nicht das Problem. Interessanter wirds bei der unteren! Edit: Deine Verfahrensweise wäre natürlich okay, wenn sie funktioniert, d.h. wenn es eine explizite Stammfunktion gibt.
11.04.2007, 15:22	Patrick.n.B	Auf diesen Beitrag antworten »
ok fasse mal zusammen 1 Integral: $\begin{eqnarray} \sin(1/x²)<1/x² somit \int_{2}^{a}~1/x²~dx = [-1/x]_{2}^a =-1/a -1/2 =-1/2 \end{eqnarray}$ für a gegen unendlich!!!habe ich somit bewiesen das dass Integral konvergiert?denke das reicht oder? jetzt schaue ich mir das zweite mal an
11.04.2007, 15:32	Patrick.n.B	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt weiss ich was du mit der Null meinst:-) hhm,was kann ich denn da machen integral 2) wie bekomme ich die Null das raus?denn ab >0 ist es ja das gleiche wie integral 1
11.04.2007, 15:49	Patrick.n.B	Auf diesen Beitrag antworten »
ok hab das zweite integral auch gelöst!also vielen dank an alle!bin neu hier(1 tag) saß heute 4 stundne an der uni,und kam überhaupt nicht weiter...20 minuten hier und es klappt endlich,manchmal brauch man nur einen anstoß...also danke!!
11.04.2007, 23:11	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal, bei deiner kleinen Rechnung stimmt ein Vorzeichen nicht, die untere Grenze erhält ja immer ein Minus! Also $\begin{eqnarray} \int_2^\infty\frac{dx}{x^2}=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Wenn du das andere Integral tatsächlich auch kontrollieren konntest, wäre es schön, wenn du es hier noch kurz zeigen würdest - interessiert mich dann auch ein wenig! Ansonsten dann noch viel Spaß hier im Board und viele geistreiche Denkanstöße!

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