Differentialgleichung (Var. der Konstanten) - Seite 4

27.11.2004, 00:19

murray

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}\cdot ln(x)-x}{x^{2}}=\frac{x^{2}\cdot ln(x)}{x^{2}}-\frac{x}{x^{2}}=ln(x)-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

27.11.2004, 11:10

iammrvip

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Zitat:

Original von minzel
Einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{c_1'(x)}{x^2}-\frac{2c_1(x)}{x^3}+\frac{2c_1(x)}{x^4} = ln(x) \end{eqnarray*}$

noch ein tipp minzel:

(fast) immer wenn sowas vorkommt, hat man irgendwie falsch eingesetzt oder die homogene lösung ist nicht (komplett) richtig. normalerweise geht es immer auf.

27.11.2004, 11:28

minzel

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jorr, thx

27.11.2004, 11:39

iammrvip

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sag wenn du für die DGL 2. ordnung bereit bist Big Laugh

.

ps: kennt du den produktansatz??

27.11.2004, 12:45

minzel

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brrr, 2. ordnung leg ich immer weg, aber hab noch eine zu erster ordnung angefangen aber hab da schon wieder nen prob.:

$\begin{eqnarray*} y'-3\frac{y}{x}=x \end{eqnarray*}$

Homogene DGL:

$\begin{eqnarray*} y'-3\frac{y}{x}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=3\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{y}=3\frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int{\frac{dy}{y}}=\int{3\frac{dx}{x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln|y|=3ln|x|+c , ceR \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{ln|y|}=e^{3ln|x|}e^c \end{eqnarray*}$

auf den nächsten schritt komm ich nicht.

27.11.2004, 12:49

iammrvip

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du musst einfach das logarithmengesatz anwenden:

$\begin{eqnarray*} a \cdot log_b(x) = log_b(x^a) \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} a \cdot ln(x) = ln(x^a) \end{eqnarray*}$

27.11.2004, 12:53

minzel

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ah ok, thx werd gleich mal weiter rechnen

hattest du schon mal so eine seite gefunden wo es die wichtigsten funktionen für ableitungen und integrierungs gesetzte gibt ?

27.11.2004, 12:59

iammrvip

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hier sind ableitungsregel und hier stammkfuntionen. aber wenn du die ableitungen hast, musst du sie eigentlich bloß umkehren.

27.11.2004, 13:03

minzel

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$\begin{eqnarray*} e^{ln|y|}=e^{3ln|x|}*e^c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=x^3*c_1 , c_1=\pm e^c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_H=x^3*c_1 \end{eqnarray*}$

Faktorregel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=C*u(x) -> f'(x)=C*u'(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=x^3 , u'=3x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(x) = c_1(x) * 3x^2 \end{eqnarray*}$

Einsetzen:

$\begin{eqnarray*} c_1(x)*3x^2-3\frac{x^3*c_1(x)}{x} = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_1(x)*3x^2-3x^2*\frac{c_1(x)}{x} = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_1(x)*\frac{c_1(x)}{x} = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{c_1(x)^2}{x} = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_1(x)^2 = x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_1(x) = x \end{eqnarray*}$

Einsetzen in homog.

$\begin{eqnarray*} y=x^3*x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=x^4 \end{eqnarray*}$

sry, hatte zuerst den fehler gefunden, nu frag ich nur mal ob das so stimmt.

27.11.2004, 13:05

iammrvip

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27.11.2004, 13:11

iammrvip

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Zitat:

Original von minzel
$\begin{eqnarray*} y_H=x^3*c_1 \end{eqnarray*}$

Faktorregel:

das geht doch nicht du machst doch jetzt "Variation der Konstanten". dann ist $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ ein funktion von x

also:

$\begin{eqnarray*} y(x)= c_1(x)x^3 \end{eqnarray*}$

also produktregel:

$\begin{eqnarray*} y'(x)= c_1'(x)x^3 + 3c_1(x)x^2 \end{eqnarray*}$

edit: ich seh grad. jetzt sind's zwei posting geworden. sorry.

27.11.2004, 13:22

minzel

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Ist das die Lösung ?

$\begin{eqnarray*} y=-x^3+x-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

27.11.2004, 13:23

iammrvip

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ich komm auf

$\begin{eqnarray*} y(x) = Cx^3 - x^2 \end{eqnarray*}$

schreib noch mal auf was du gerechnet hast. muss ja nicht jeder zwischenschritt sein.

27.11.2004, 13:29

minzel

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ok also nochmal durchrechnen:

$\begin{eqnarray*} y'(x)= c_1'(x)x^3 + 3c_1(x)x^2 \end{eqnarray*}$

das einsetzen:

$\begin{eqnarray*} x^3c_1'(x) + 3x^2c_1(x)-\frac{3x^3*c_1(x)}{x}=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3c_1'(x) + 3x^2c_1(x)-3x^2*c_1(x)=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3*c_1'(x)=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_1'(x)=\int{\frac{1}{x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_1(x)=-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

soweit richtig ?

27.11.2004, 13:29

iammrvip

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bis zum integrieren:

$\begin{eqnarray*} c_1(x) = \int~\frac{1}{x^2}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_1(x) = -\frac{1}{x} + C \end{eqnarray*}$

du darfst das C nicht vergessen.

27.11.2004, 13:33

minzel

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das wiederum einsetzen:

$\begin{eqnarray*} y=x^3*-\frac{1}{x} + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=-x^2 + C \end{eqnarray*}$

hm?

Ps: ja, gg, war mir grad nur zuviel schreibarbeit mit dem C *fg

27.11.2004, 13:35

iammrvip

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Zitat:

Original von minzel
das wiederum einsetzen:

$\begin{eqnarray*} y=x^3*-\frac{1}{x} + C \end{eqnarray*}$

einsetzen:

$\begin{eqnarray*} y(x) = c_1(x)x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x) = \left(-\frac{1}{x} + C\right)x^3 \end{eqnarray*}$

die klammer nicht vergessen!! Freude

27.11.2004, 13:37

minzel

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ahja, stimmt ja, naja bin schreibfaul *g

$\begin{eqnarray*} y=-x^2+cx^3 \end{eqnarray*}$

so?

27.11.2004, 13:38

iammrvip

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japp. noch schön geordnet:

$\begin{eqnarray*} y(x) = Cx^3 - x^2 \end{eqnarray*}$

27.11.2004, 13:42

minzel

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ok, THX

bin ab jetzt aber leider verplant ...
bei 2.ordnung kannst mir ja paar tipps geben wie ich die dann weiter rechne.

also ansatz ... bla ... bis "Nullstellen" ist klar ... wie gehts es dann mit den "Nullstellen" bzw mit mit den werten dann weiter ?

dann mach ich das wenn ich wieder heim bin, wird gegen mitternacht sein.
thx im voraus !

und schon mal schönen abend

27.11.2004, 13:54

iammrvip

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wenn du die nullstellen raus hast, musst du drei fälle unterscheiden (für zwei nullstellen erstmal):

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \neq \lambda_2 \Rightarrow y(x) = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \lambda_2 \Rightarrow y(x) = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2xe^{\lambda_2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1/2} \text{sind komplexe zahlen} \Rightarrow y(x) = e^{Re(\lambda)} \left(Acos(Im(\lambda)x) + Bsin(Im(\lambda)x)\right) \end{eqnarray*}$

warum und weswegen kann ich dir heute abend noch erzählen. bin heute auch da Augenzwinkern

27.11.2004, 20:52

minzel

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hallo !

also bin noch niht zurück, schreibe grad von "zu hause" bzw aus spremberg,
da ich hier noch bisschen warten muß hab ich mir das schon mal durchgelesen.

Also 3 unterscheidungen, ich denke mal es wird reichen wenn ich weiß das es sowas gibt oder ? Oder ist es wichtig zu sagen warum genau das dann eintritt wenn nullstellen gleich oder ungleich.

ist dies dann die lösung der homogenen gleichung ?

27.11.2004, 20:54

iammrvip

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wenn du deine nullstellen dazu hast, ist das sogar die allgemeine lösung Rock

27.11.2004, 20:55

minzel

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hm?

kann doch nicht so einfach sein, oder doch ?
Muß man da nicht weiter rechnen ?

27.11.2004, 20:58

iammrvip

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für dein beispiel:

$\begin{eqnarray*} y'' - 6y' + 9y = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 - 6\lambda + 9 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1/2} = 3 \end{eqnarray*}$

also der erste ansatz:

$\begin{eqnarray*} y(x) = C_1e^{\lambda_1x} + C_2xe^{\lambda_2x} \end{eqnarray*}$

eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} y_{allg}(x) = C_1e^{3x} + C_2xe^{3x} \end{eqnarray*}$

28.11.2004, 00:18

minzel

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ok supi, nommal im überblick:

Bestimmen Sie die allg. Lösung für folgende DGL:

$\begin{eqnarray*} y''-6y'+9y=0 \end{eqnarray*}$

Ansatz:

$\begin{eqnarray*} y=Ce^{\lambda x} \end{eqnarray*}$

Das Ableiten:

$\begin{eqnarray*} y=Ce^{\lambda x} \Rightarrow y'=\lambda Ce^{\lambda x} \Rightarrow y''=\lambda^2Ce^{\lambda x} \end{eqnarray*}$

In die Ausgangsgleichung einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 (C e^{\lambda x}) - 6(C\lambda e^{\lambda x}) + 9(Ce^{\lambda x}) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 - 6\lambda + 9 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2} \Rightarrow \lambda_{1/2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2} \Rightarrow \lambda_{1/2} = 3 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt das man diese Bedingung brauch:

$\begin{eqnarray*} y(x)=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2xe^{\lambda_2 x} \end{eqnarray*}$

Einsetzen:

$\begin{eqnarray*} y_{Allg} = C_1e^{3 x}+C_2xe^{3 x} \end{eqnarray*}$
==================

Stimmt des so ? Bzw, alles komplett ?

28.11.2004, 00:24

iammrvip

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japp. ist alles richtig und kompletti Rock

28.11.2004, 00:27

minzel

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hm, dann ist ja das noch einfacher als 1. ordnung :)
supi, dann is ja soweit dgl abgehackt und das innerhalb von einer woche :)
werd mir dann noch formelzettel zusammenstellen, das ich das da auch alles mit reinnehmen kann, thxl

28.11.2004, 00:28

iammrvip

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bitte schön. Augenzwinkern

hat sich noch ein schreibfehler eingeschgleichen nich $\begin{eqnarray*} x_{1/2} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \lambda_{1/2} \end{eqnarray*}$ . aber das ist ja bloß ein tippfehler Augenzwinkern

.

noch ne frage: DGLen höhrer ordnung musst du nicht können??

28.11.2004, 00:31

iammrvip

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löschen geht nich...

28.11.2004, 00:31

minzel

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haha :)

ney noch nicht, aber könnte im 4. semi kommen, bei angewandter mathematik. was ich noch mir angucken muß ist eine matrizengleichung explizit angeben und evt, nochmal eigenvektoren bzw eigenwerten von matrizen und wie man daraus die form, bzw was für eine kurve dis is, aber da werd ich nochmal im jeweiligen forum ein beitrag eröffnen

28.11.2004, 00:33

iammrvip

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. naja man kann ja nie wissen. besonderer schwierigkeitesgrad oder so ^^.

naja dann viel glück bei deiner prüfung zu dem thema Augenzwinkern

28.11.2004, 00:34

minzel

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thx, na dank dir werd ich da keine größeren probleme haben. ist alles auf diesem level die prüfung

28.11.2004, 00:35

iammrvip

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naja dann. schlaf schön. und wie gesagt viel glück.

28.11.2004, 00:37

minzel

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du auch und danke Wink

28.11.2004, 00:37

iammrvip

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cu soon

28.11.2004, 01:35

WebFritzi

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@iammrvip: WOW, für die 11. Klasse hast du's voll drauf. Kompliment! Was willst du denn studieren, wenn du groß bist? Augenzwinkern

28.11.2004, 13:41

iammrvip

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eigentlich so früher war's immer so ein schwanken zwischen astrophysik/jura/psychologie. interessiert mich alles sehr. auch heute noch.

aber seit mai (also dieses jahres) als ich so angefangen hab mit differential- und integralrechnung und auch seit sommerferien mit DGLen Big Laugh

. würd ich am liebsten mathematik studieren. die frage ist bloß, was ich damit machen kann verwirrt

.

statistiker oder sowas will ich auf keinen fall werden. professor wäre vielleicht interessant, aber das geht als astrophysiker auch. außerdem was forscht ein mathematik-professor??

28.11.2004, 14:49

minzel

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mal gleich noch eine überprüfung:

geg: $\begin{eqnarray*} y''+5y'+4y=0 \end{eqnarray*}$

ges: Allgemeine Lösung

Lösung:

$\begin{eqnarray*} y_A = C_1e^{-1x} + e^{-4x} \end{eqnarray*}$

bzw:

$\begin{eqnarray*} y_A = \frac{C_1}{e^{x}} + \frac{1}{e^{4x}} \end{eqnarray*}$

haut das hin ? Und kann man das auch ohne weiteres als ln darstellen ?

28.11.2004, 15:07

iammrvip

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Zitat:

Original von minzel
$\begin{eqnarray*} y_A = C_1e^{-1x} + e^{-4x} \end{eqnarray*}$

hier muss noch das $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ dazu. weil ja dein ansatz $\begin{eqnarray*} y(x) = Ce^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ ist. und bei " $\begin{eqnarray*} -1x \end{eqnarray*}$ " lässt man die " $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ " weg. nur " $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ ". das ist aber nur formsache. also:

$\begin{eqnarray*} y_{allg} = C_1e^{-x} + C_2e^{-4x} \end{eqnarray*}$

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