Differentialgleichung (Var. der Konstanten) - Seite 5

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28.11.2004, 15:34

minzel

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ok :)

28.11.2004, 15:37

iammrvip

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japp. dann ist ja alles klar. Rock

solange wie sie linear und homogen sind, sind sie eigentlich auch leicht zu lösen.

du musst bloß aufpassen, wenn auf der rechten seite der gleichung auch etwas steht, d.h. $\begin{eqnarray*} b(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist. dann musst du erst wieder die homogene DGL lösen und ...

28.11.2004, 16:52

minzel

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jab

ach du ? wegen tex, hab mir mal das proggi texniccenter runtergeladen und paar package's wie kann ich denn da was richtig compilieren, bekomme immer nur fehler und als ausgabe ne leere seite ...
vieleicht weißt du ja da noch rat

28.11.2004, 17:08

iammrvip

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hab ich noch nich benutzt. kenn's nur unter linux. warte ich guck's mir mal. lad's grade runter.

edit: brauch ich ja auch noch eine LaTeX-distribution dazu...

28.11.2004, 17:22

minzel

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ja bekommst auch da:

hab eben was hinbekommen ^^

\begin{document}
$\frac{1}{x}$
\end{document}

aber auch mit 2 fehlern.

PS:

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\begin{document}
\Huge{$\frac{1}{x}$}
\end{document}

sowas in der art hab ich gesucht, ok, dann werd ich mal paar lösungen von meiner probeklausur in tex schreiben smile

28.11.2004, 17:30

iammrvip

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scheiß MimeTex geht bei mir nicht. bricht das setup imme bei einer bestimmten datei ab.

edit: jetzt geht's. leider nur die small-version. naja

28.11.2004, 21:03

minzel

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hm, ist ja sau schwierig, aber irgendwie wieder geil ... smile

werd mal nen neues thema dazu eröffnen bzw mal durchgucken ob ich hier was finde dazu.

30.11.2004, 14:53

minzel

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Wollte nur mal bescheid geben das ich vorhin Konsultation hatte zu der matheprüfung am freitag smile

raum war zwar voll aber war dann doch irgendwie die ganze zeit an der tafel *g hat übelst spaß gemacht , auch eine diff 1. hab ich da gemacht, bis auf partielle integration hat ich dort alles richtig gehabt.

PS: hat dich ja als guten lehrer *g

prüfung kann also kommen

30.11.2004, 15:35

WebFritzi

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@minzel: Du solltest dir auf jeden Fall nochmal ausklammern und ausmultiplizieren anschauen.

30.11.2004, 15:43

iammrvip

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@minzel
darfst du eine taschenrechner benutzen??

30.11.2004, 19:30

minzel

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@WebFritzi

Ja, stimmt schon hab da einige fehler gemacht, liegt aber daran das ich ziehmlich schreibfaul bin und da nie klammern drumgesetzt habe und deshalb war nichts zumausklammern da, aber zur prüfung werd ich mir das angewöhnen

@iammrvip

Nein, taschenrechner ist tabu, hab die aufgaben auch soweit ohne taschenrechner gelößt, bis auf die aller erste aber die geht jetzt auch schon.

Kann ja mal sagen was so drann kommt:
*Eine Aufgabe zur Vektorrechnung, (Aber muss nicht sein) => Abgehackt
*Eigenwerte / Vektor, Explizite darstellung und Kurve bestimmen => Heute nochmal in der konsultation gehabt, werd ich nochmal 1, 2 aufgaben durchgehen
*Matrizen (Multiplikation / Gleichung umstellen / BLA ) => Abgehackt
* Gauss: Bsp: 4 unbekannte , 3 gleichungen => Abgehackt
* dgl 1. ordnung => Abgehackt
* dgl 2. ordnung => Abgehackt

jab smile

30.11.2004, 19:39

iammrvip

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is ja voll dämlich. wenn dann so eine quadratische gleichung kommt, muss man ja immer die lösungsformel nehmen...total umständlich

naja noch mal viel glück Freude

30.11.2004, 19:58

minzel

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naja, vieleicht kommt dann im nächstes semi das ganze nen zacken schärfer, man weiß ja nie smile

thx nommal bis freitag, schreib dann wie es war. bye

30.11.2004, 19:59

iammrvip

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mach das

.

kannst ja die aufgaben noch mal zu üben durchposten Augenzwinkern

.

cu

18.01.2005, 15:31

minzel

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hallöchen, da bin ich wieder ...
also gute nachricht ist das ich die mathe-klausel geschafft hab smile

da danke ich dir nommal ganz doll iammrvip, hast ja einiges dazu beigetragen und nicht nur mir auch in unserer mathe-ag konnt ich damit dem rest das auch beibringen und bis auf einer haben ses alle gepackt :S

aber nun würd ich gern einer kumpeline helfen die im 1. semi ist und also test aufgabe so eine dgl 1. ordnung bekommen hat.

die teilaufgabe bei der ich nicht weiter kommt sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} y'_2-y_1+e^x=0 \end{eqnarray*}$

herraus zu finden ist hier natürlich $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$

Habe nun schon mehrere Versuche in angriff genommen aber bin irgendwie immer wieder gescheitert.

Hier mal das von mir: (Eine Variante)

$\begin{eqnarray*} y'_2-y_1+e^x=0 |-e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'_2-y_1=-e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'_2-y_1=0 \end{eqnarray*}$

Wäre meine Homogene DGL

$\begin{eqnarray*} y'_2-y_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'_2=y_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=y_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int{\frac{dy}{y_1}}=\int{dx} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln|y_1|=x+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{ln|y_1|}=e^{x+c} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{1(H)}=e^{x+c} \end{eqnarray*}$

Wäre meine Homogene Gleichung

Stimmt es denn bis hier hin wenigstens ?
thx scho mal

18.01.2005, 15:39

iammrvip

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Zitat:

Original von minzel
die teilaufgabe bei der ich nicht weiter kommt sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} y'_2-y_1+e^x=0 \end{eqnarray*}$

herraus zu finden ist hier natürlich $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$

Wie lautet denn die Aufgabenstellung genau verwirrt

Ohne weitere Vorgaben kannst hier einfach nach $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ umstellen.

$\begin{eqnarray*} y_2' - y_1 + \mathrm e^x = 0 \Rightarrow y_1 = \mathrm e^x - y_2' \end{eqnarray*}$

18.01.2005, 15:44

minzel

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hui, ging ja schnell, gut aber , achja die awb sollen ja berechnet werden na moment hier die komplette aufgabe:

http://www.if03.de/jule/aufg3.pdf

Also wie schon geschrieben weiß ich nun nicht ob der letztere Teil also ab der 2. DGL richtig ist.

18.01.2005, 15:49

iammrvip

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Deine Lösung aus dem letzten Beitrag ist richtig Augenzwinkern

.

Kommando zurück. sind $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ gleich??

18.01.2005, 15:55

minzel

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gut dann komm ich ab da an nicht weiter :)

das $\begin{eqnarray*} -e^x \end{eqnarray*}$ muß ja nun irgendwie wieder ins spiel und lößt in mir etwas unbehagen aus und komplette verwirrung ^^

18.01.2005, 16:03

navajo

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Zitat:

Original von minzel
$\begin{eqnarray*} y'_2-y_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'_2=y_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=y_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int{\frac{dy}{y_1}}=\int{dx} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln|y_1|=x+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{ln|y_1|}=e^{x+c} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{1(H)}=e^{x+c} \end{eqnarray*}$

Wäre meine Homogene Gleichung

Stimmt es denn bis hier hin wenigstens ?
thx scho mal

Öhm, $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ sind zwei verschiedene Funktionen, du kannst nicht einfach aus dem $\begin{eqnarray*} y_2' \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ machen.

Du kannst eine von den beiden Gleichungen der Anfangsdgl nach einer Variable auflösen und gegebenfalls integrieren oder ableiten und in die andere Gleichung einsetzen. Dann müsstet du eine Dgl für y1 oder y2 bekommen, die es zu lösen gilt.

Weiß was ich meine? verwirrt

18.01.2005, 16:08

iammrvip

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@minzel
noch eine Frage. Von wem ist der Lösungverschlag verwirrt

18.01.2005, 16:16

minzel

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von mir selber smile

Der Tipp selber kam von meinem matheprof. das die dgl's aufeinander aufbauen und mit der letzten kann man anfangen und dann so weiter rechnen. ist noch was großartiges falsch ?

$\begin{eqnarray*} y_3=e^x \end{eqnarray*}$

ist aber eine richtige lösung nach maple

18.01.2005, 16:26

navajo

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Jo, die Lösung für sollte $\begin{eqnarray*} y_3 \end{eqnarray*}$ stimmen.

Aus den Restlichen beiden Gleichungen musst du aber noch für $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ Lösungen finden. Da in den beiden Gleichungen $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ gemischt sind, musst du eins von den beiden elemenieren. Z.b indem du die erste Gleichung nach $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ auflöst, das dann ableitest und in die zweite Gleichung einsetzt:

1te Gleichung:
$\begin{eqnarray*} y_1'-4y_2+e^x=0 \end{eqnarray*}$
Nach $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ umgeformt:
$\begin{eqnarray*} y_2=\frac{y_1'+e^x}{4} \end{eqnarray*}$
Das kannst du nun ableiten und in die zweite Gleichung einsetzen. Dann hast du eine Dgl für $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ .

18.01.2005, 16:28

iammrvip

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Ich glaube du hast das was verdreht. Nur weil $\begin{eqnarray*} y_2(0) = 0 \end{eqnarray*}$ kannst du nicht davon ausgehen, dass deine Rechung gilt Augenzwinkern

.

Du musst eine Gleichug nach $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ auflösen und dann in eine andere einsetzen. Am besten die erste Freude

.

/edit: da war ich wohl etwas langsam Big Laugh

18.01.2005, 16:43

minzel

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jetzt bin ich noch mehr verwirrt,
sollte ich das jetzt wie navajo erklärt machen oder nicht ?!

Hier mal die lösung aus maple:

http://www.if03.de/jule/aufg3.jpg

18.01.2005, 16:52

iammrvip

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Ja, musst du; hatte ich dir auch nocht geschrieben, aber dann kam schon navajos Beitrag, war zu spät.

Ich bin erst davon ausgegangen, dass $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ gleichwertig sind.

Aber sie sind ja verschienden. Da musst du es schon so machen. Denke einfach an Gleichungssystem zurück Augenzwinkern

18.01.2005, 17:30

minzel

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$\begin{eqnarray*} y_2=\frac{y_1'+e^x}{4} \end{eqnarray*}$

ohje die gleichung ableiten ? Und Gleichungssystem ?
Also hier würde ich ins stocken kommen weil ich keine allg form hab wie ich sowas ableite und ein y' hab ich leider auch noch nie abgeleitet :S

18.01.2005, 17:33

navajo

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$\begin{eqnarray*} y_1' \end{eqnarray*}$ abgeleited gibt einfach $\begin{eqnarray*} y_1'' \end{eqnarray*}$ ! Augenzwinkern

18.01.2005, 17:37

minzel

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also:

$\begin{eqnarray*} y'_2=\frac{y_1'+e^x}{4} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y''_2=\frac{y_1'+e^x}{4} \end{eqnarray*}$

?

18.01.2005, 17:39

navajo

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Neee, eher so:

Das hier:
$\begin{eqnarray*} y_2=\frac{y_1'+e^x}{4} \end{eqnarray*}$

Gibt nach x abgeleited das hier:

$\begin{eqnarray*} y_2'=\frac{y_1''+e^x}{4} \end{eqnarray*}$

18.01.2005, 17:46

minzel

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aso, ok das nun eingesetzt müßte ja so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{y''_1+e^x}{4}-y_1+e^x=0 \end{eqnarray*}$

haut das so hin erstmal ?

18.01.2005, 17:49

navajo

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Jo, passt!

18.01.2005, 17:57

minzel

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uffa und das nu lösen, dachte dabei geht es nur um diff 1. ordnung ?!

Würde als homogene gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{y''_1+e^x}{4}-y_1=0 \end{eqnarray*}$ nehmen.

Ist $\begin{eqnarray*} y''_1 = \frac{dy_1}{dx} \end{eqnarray*}$ ?!

18.01.2005, 18:00

iammrvip

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Nein. Nicht so kompliziert.

$\begin{eqnarray*} y_1'' + e^x - 4y_1 + 4e^x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1'' - 4y_1 + 5e^x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1'' - 4y_1 = -5e^x \end{eqnarray*}$

jetzt die homogene DGL:

$\begin{eqnarray*} y_1'' - 4y_1 = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du einfach die charakteristische Gleichung aufstellen und lösen Augenzwinkern

. (Ansatz $\begin{eqnarray*} y_1 = \mathrm e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ )

18.01.2005, 18:34

minzel

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Also da würde ich jetzt wie folgt weiter machen mit der Info:

$\begin{eqnarray*} y_1 = C\mathrm e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'_1 = C\lambda \mathrm e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y''_1 = C\lambda^2 \mathrm e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$

Das in $\begin{eqnarray*} y''_1-4y_1=0 \end{eqnarray*}$ einsetzen.

$\begin{eqnarray*} C\lambda^2 \mathrm e^{\lambda x}-4\mathrm Ce^{\lambda x}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda^2-4=0 \end{eqnarray*}$

"Nullstellen":

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_2=-1 \end{eqnarray*}$

soweit so gut ?! wenn ja was mach ich damit.
hatte damals bei 2. ordnung nicht weiter rechnen brauchen nur noch in die jeweilige bedingung einsetzen und dann wars ok soweit in diesem falle wäre ja die lösung:

$\begin{eqnarray*} y_{Allg}=C_1e^{2x}+C_2e^{-x} \end{eqnarray*}$

18.01.2005, 18:37

iammrvip

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Wie kommst du denn auf die Lösungen der Gleichung??

Du hast bestimmt die Lösungsformel genommen oder?? verwirrt

Das ist hier vollkommen überflüssig, denn wir haben hier die 3 binomische Formel:

$\begin{eqnarray*} \lambda^2-4 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\lambda - 2)(\lambda + 2) = 0 \end{eqnarray*}$

also erhalten wir als Lösungen für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1/2} = ... \end{eqnarray*}$

18.01.2005, 18:50

minzel

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immernoch

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_2=-1 \end{eqnarray*}$

?

18.01.2005, 18:57

iammrvip

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ein Produkt wird immer dann 0, wenn ein Faktor 0 wird. Also beim erstenm, wenn man 2 einsetzt und beim zweiten, wenn man -2 einsetzt.

vielleicht verstehst du es so besser:

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 - 4 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda^2 = 4 | \sqrt {...} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_2 = -2 \end{eqnarray*}$

das meine ich Augenzwinkern

. also kommt man zu der Lösung ... für den homogene DGL?

18.01.2005, 18:57

derkoch

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wie kommst du denn auf $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ ???? verwirrt

18.01.2005, 19:01

minzel

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ja ok, ein rechenfehler von mir, aber irgendwie hab ich den bezug und den faden zu der eigentlich aufgabe verloren werd mir das morgen nochmal anschauen. bin auch ziemlich müde, thx aber erstmal

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