Folgen stetiger Funktionen

11.04.2007, 16:35

Patrick.n.B

Folgen stetiger Funktionen

Ok,hab ein neues Problem
fn:R->R, fn(x)= $\begin{eqnarray*} (x²)^{n}/(1+x^{2n}) \end{eqnarray*}$
soll diese Folge auf punktweise oder gleichmässige Konvergenz untersuchen.
Bitte nur Tipss,keine Lösungen!!!
also das $\begin{eqnarray*} (x²)^{n} \end{eqnarray*}$ kann ich ja gleich als $\begin{eqnarray*} (x)^{2n} \end{eqnarray*}$
schreiben...aber was nun?

11.04.2007, 17:08

Frooke

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RE: Folgen stetiger Funktionen
Meinst Du

$\begin{eqnarray*} f_n(x):=\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}} \end{eqnarray*}$

Forme um:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}=\frac{-1+1+x^{2n}}{1+x^{2n}}=\frac{-1}{1+x^{2n}}+1 =1-\frac{1}{1+x^{2n}} \end{eqnarray*}$

Bringt Dir das schon etwas?

11.04.2007, 17:08

Leopold

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RE: Folgen stetiger Funktionen

Zitat:

Original von Patrick.n.B
...aber was nun?

erst einmal das hier

11.04.2007, 17:09

Leopold

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RE: Folgen stetiger Funktionen
Du sollst ihn nicht stillschweigend verbessern! böse

Du solltest ihn besser auf seinen folgenschweren Fehler in der mathematischen Grammatik aufmerksam machen.

11.04.2007, 17:14

Frooke

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Ja, ich hätte das expliziter machen sollen, sorry, ich hatte nur das «meinst Du...?» hingeschrieben, wollte damit ausdrücken, dass er wohl nicht das meint, was er schreibt... Entschuldige... Gott

11.04.2007, 17:20

Leopold

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Zitat:

Original von Frooke
Entschuldige... Gott

So weit mußt du es nun auch nicht treiben. Du darfst hier ruhig mit mehr Selbstbewußtsein auftreten. Schließlich bist du einer der besten Antworter im Board.
Eher habe ich mich zu entschuldigen, daß ich in meinem ersten Ärger etwas zu barsch reagiert habe. Aber auf die Knie werfen werde ich mich deshalb nicht. Augenzwinkern

11.04.2007, 17:23

Frooke

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Das mit den Knien ist auch nicht so zu verstehen, aber es gibt keinen passenderen Smiley dafür Augenzwinkern

...

Ausserdem finde ich es gut, wenn Du darauf hinweist; Wenn man nämlich Fehler allzuoft sieht, hört man auf, sie zu korrigieren und das ist auch nicht erwünscht... (siehe Aufleiten und Standart usw...)

Aber man versteht sich ja smile

11.04.2007, 17:59

Patrick.n.B

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sorry das mit den bruchstrich wusste ich nicht,werde ich nächstes mal sicher beachten!!der ansatz ist gut,werde ihn mir morgen mal genauer anschauen und mit rechnen,für heute kann ich nicht mehr;-)
danke schonmal,wenn ich morgen nicht weiter komme,dann schreib ich nochmal!

16.04.2007, 13:53

Patrick.n.B

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@frooke also das kommt mir zwar irgendwie bekannt vor,aber komme nicht weiter??irgendwas mit geometrischer reihe?
überhaupt verstehe ich nicht gan was eine funktionsfolge sein soll?funktionsreihe ist ja die summe der funktionen...aber folge? weiss auch nicht wie ich vorgehen soll um die punktweise oder gleichmässige konvergenz von folgen zu bestimmen? diese doofe definition verstehe ich nicht!!

16.04.2007, 14:12

Sumo

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Überleg Dir doch zuerst mal wie die Grenzfunktion aussieht.

Dazu kannst du - punktweise - mit zu einigen festen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mal gucken wie sich $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ verhält.

Probier doch mal $\begin{eqnarray*} x\in\{-2,-1,0,1,2\} \end{eqnarray*}$ !

16.04.2007, 14:23

Patrick.n.B

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wie ist kmeine vorgehensweise,den trick oben mit dem erweiter um -1+1 verstehe ich ja,aber wo will ich hin?es gibt doch kriterien? was habe ich davon wenn ich zahlen für x einsetze?gegen was konvergiert es denn? für n gerade gegen 1 für n ungerade gegen 2?

16.04.2007, 14:35

klarsoweit

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RE: Folgen stetiger Funktionen
Nochmal von vorn. Wir haben:
$\begin{eqnarray*} f_n(x):=1-\frac{1}{1+x^{2n}} \end{eqnarray*}$

Das ist keine Funktionenreihe, sondern eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Funktionen. Die einzelnen Funktionen erhältst du, wenn du n=1, 2, 3, usw. einsetzt.

Diese Funktionenfolge soll erstmal auf punktweise Konvergenz untersucht werden. Dazu nimmt man x als fest an und läßt n gegen unendlich laufen, sprich: man bildet:
$\begin{eqnarray*} f(x):=\lim_{n \to \infty}~f_n(x) \end{eqnarray*}$

16.04.2007, 15:12

Patrick.n.B

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dann konvergiert die funktionsfolge meiner meinug nach gegen 1?und nun?

16.04.2007, 15:37

klarsoweit

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Stimmt nicht ganz. Was machst du im Fall x=0 ? Augenzwinkern

EDIT: Konkreter: man sollte sich die Fälle |x| < 1 und |x| = 1 genauer ansehen.

16.04.2007, 22:25

Frooke

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