Ich üb mal wieder für die Olympiade - Seite 10

28.11.2006, 12:19	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Seltsam, dass du a) raushast, aber b) und c) nicht??? Ich sehe das mehr so als "Alles-Oder-Nichts"-Aufgabe. Die Lösung der eigentlichen Aufgabe will ich mal nicht verraten, nur mal anmerken, dass die genannte quadratische Kongruenz $\begin{eqnarray} 2x^2+x=3y^2+y \end{eqnarray}$ auch tatsächlich unendlich viele Lösungen hat: Ausgehend von $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) = (0,0) \end{eqnarray}$ ist mit $\begin{eqnarray} (x_n,y_n) \end{eqnarray}$ nämlich auch $\begin{eqnarray} x_{n+1} &:=& 49x_n+60y_n+22\\ y_{n+1} &:=& 40x_n+49y_n+18 \end{eqnarray}$ Lösung der Kongruenz, wie man durch Vollständige Induktion leicht nachweisen kann. Damit ergeben sich die ersten Paare (0, 0) (22, 18) (2180, 1780) (213642, 174438) (20934760, 17093160) ... Ich glaube, das sind sogar alle nichtnegativen Lösungspaare, aber der Beweis dessen ist dann schon etwas schwieriger...
28.11.2006, 19:06	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
naja ich hab mich über die Lösung von a) (im Nachhinein leider kleiner Fehler) gefreut und musste dann schleunigst lernen. Aber ich häng mich nochmal dran. Mein Ansatz ist auch anders.(Wahrscheinlich befind ich mich mal wieder gewaltig am Holzweg )
28.11.2006, 19:33	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht ja doch nicht? Ich hab jedenfalls einfach nur $\begin{eqnarray} 3y^2 + y = 2x^2 + x \end{eqnarray}$ algebraisch umgeformt zu den Gleichungen $\begin{eqnarray} y^2 &=& 2(x^2-y^2) + x-y = (2x+2y+1)(x-y)\qquad (1)\\ x^2 &=& 3(x^2-y^2) + x-y = (3x+3y+1)(x-y)\qquad (2) \end{eqnarray}$ . Und jetzt fehlt nur noch der Gedanke, dass die Produkte rechts in (1) und (2) jeweils aus teilerfremden Faktoren bestehen.
28.11.2006, 19:57	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
nein ich hab so was probiert mit Linearkombination. also $\begin{eqnarray} x=ua+vb \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=ka+mb \end{eqnarray}$ Ein anderer Ansatz war, dass ich rasgefunden hab das $\begin{eqnarray} y=kx \end{eqnarray}$ ( da bin ich mir jetzt aber nicht unbedingt sicher..) Edit : jetzt versteh ich deine Lösungsansatz mal wie immer äußerst elegant P.S: Die Sigantur is gut. Der sagt des aber auch in einem gelassenen Ton

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