Ich üb mal wieder für die Olympiade - Seite 2

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16.12.2004, 22:28

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Alle Lösungstripel. (Aufgabe lesen!)

16.12.2004, 22:29

igelkind

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sind doch alle

16.12.2004, 22:30

Steve_FL

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danke @Arthur Dent Augenzwinkern

@Igelkind: nun...eine Lösung zu finden hab ich ja auch geschafft.
Wenn du versuchst mir zu helfen (ich bin ja dankbar für Hilfe), dann lies dir bitte die Aufgabe genau durch und auch das, was ich sonst geschrieben habe. Denn dann wär dir aufgefallen, dass ich mehr als 1 Lösungstripel schon selber gefunden habe.

mfg

16.12.2004, 22:31

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Zitat:

Original von igelkind
sind doch alle

Klar, genau wie bei

Lösungsmenge = {x*,y*,z* | x*,y*,z* natürlich mit 1/x*+2/y*-3/z*=1}

Big Laugh

@Steve_FL:

Falls du an einem vollständigen Lösungsweg interessiert bist, bitte melden - ich wollte bloß nichts voreilig verraten.

16.12.2004, 23:01

igelkind

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Also, ich denke, dass man es trotzdem so machen kann, man muss nur noch ein klitzekleines bißchen mehr rausholen, vielleicht wird's ja dann.

Aber ich hab noch 'nen 2. Ansatz:

dann halt anders:

u := 1/x
v := 1/y
w := 1/z

Also is offensichtlich: u + 2v - 3w = 1 eine Ebenengleichung im
K-Vektorraum

Vielleicht kann man es so lösen.

16.12.2004, 23:49

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@igelkind

Bin wirklich erstaunt, auf welche Ideen du so kommst, angesichts der Ganzzahligkeit des Problems. Natürlich lasse mich mich durch einen Erfolg eines solchen Lösungswegs gern belehren.

17.12.2004, 00:01

igelkind

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Hey ich hab noch 'nen Ansatz: Aber nur falls ihr euch schon mit Restklassen beschäftig habt

17.12.2004, 00:04

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Wenn ich auch mein Alter nicht angegeben habe, so doch zumindest meinen Beruf - also keine Beleidigungen bitte! Big Laugh

EDIT: Übrigens ist mir ein Ansatz lieber, der zur Lösung führt, als zig Ansätze, die nix bringen.

17.12.2004, 00:15

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OK, genug rumgefrozzelt - hier meine Variante:

Für x>=2 und zugleich y>=4 ist 1/x + 2/y <= 1, also 1/x + 2/y -3/z < 1, damit kann es in diesem Fall keine Lösung geben.

Die restlichen Fälle (nicht notwendig disjunkt, aber vollständig):

1) x=1: Es folgt 3y=2z, also Lösungstripel (1,2t,3t), (t positiv ganz).

2) y=1: Hier folgt nach Umformung (x+1)(z-3) = -3, also gibt es nur die Lösung (2,1,2).

3) y=2: Es ist 3x=z, also Lösungstripel (t,2,3t), (t positiv ganz).

4) y=3: Hier folgt nach Umformung (x-3)(z+9)=-27, also gibt es nur die Lösung (2,3,18).

17.12.2004, 00:41

igelkind

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ok ich geb mich geschlagen

17.12.2004, 00:44

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(Was ich an dir mag, ist deine Hartnäckigkeit. smile

)

Fall 3), Lösung (t,2,3t) mit t=3.

Viel Spaß noch beim Widerlegen meiner Lösung, ich schau morgen früh mal vorbei.

Gute N8

17.12.2004, 15:50

Steve_FL

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Zitat:

Für x>=2 und zugleich y>=4 ist 1/x + 2/y <= 1, also 1/x + 2/y -3/z < 1, damit kann es in diesem Fall keine Lösung geben.

So hab ich auch angefangen Augenzwinkern

Für die anderen Tripel bin ich ähnlich vorgegangen, nur dass ich nicht umgeformt habe, sondern einfach durchprobiert.
Aber da du ja schon Erfahrung in Olympiaden hast, kannst du mir sicher verraten, ob es denn notwendig ist, so umzustellen Augenzwinkern

Dann habe ich also alle Lösungen gehabt? (Ausser, dass ich t anstatt x oder y schreiben hätte sollen smile

).

Ich werde evt. übers Wochenende (ansonsten sicher über die Weihnachtsferien) noch mehr Aufgaben zu lösen versuchen und dann gibts hier wieder einiges zu lesen Big Laugh

mfg

17.12.2004, 16:04

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Zitat:

Original von Steve_FL
Aber da du ja schon Erfahrung in Olympiaden hast, kannst du mir sicher verraten, ob es denn notwendig ist, so umzustellen Augenzwinkern

Notwendig nicht, aber ziemlich effizient:

Die Umformung (x+1)(z-3) = -3 habe ich ja nur vorgenommen, um folgende bekannte Eigenschaft zu nutzen:

Sind a,b,c ganze Zahlen mit a*b=c, dann sind a und b Teiler von c.

Ziemlich elementar, nicht wahr - aber es erleichtert solche Probleme ungemein. smile

17.12.2004, 16:42

Steve_FL

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hm stimmt

Auf solche Dinge muss ich wohl mehr achten smile

Hab mit den Zahlentheorieaufgaben noch recht viel Mühe, das heisst üben, üben, üben.

Geometrie geht grösstenteils und Kombinatorik braucht auch noch etwas Übung smile

mfg

17.12.2004, 18:46

Steve_FL

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Sorry für Doppelpost, aber das gehört nicht zum letzten Beitrag und würde dann wahrscheinlich nicht auffallen Augenzwinkern

Ich hab gestern noch eine Aufgabe versuchst, die auf einem Skript drauf war, welches ich beim letzten Treffen erhalten habe. Im Internet wurde die korrigierte Version des Skriptes zum Download zur Verfügung gestellt und da ist diese Aufgabe nicht mehr drauf.

Sie lautet aber folgendermassen:

Bestimme alle paarweise teilerfremden Zahlen a, b, c für die folgende Gleichung gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c} \end{eqnarray*}$

Nach etwas umformen komme ich auf folgende Gleichung:
$\begin{eqnarray*} c \cdot (a + b) = ab \end{eqnarray*}$

Das bedeutet ja, dass sowohl c, als auch (a + b) ein Teiler von ab sein muss.
c ist aber weder ein Teiler von a, noch ein Teiler von b.
Kann ich dadurch sagen, dass c auch kein Teiler von ab ist?
Ich denke nicht.
Kann ich sagen, dass (a+b) kein Teiler von ab ist, wenn a und b teilerfremd sind?

Ich kann zeigen, dass a und b grösser sind als c (sonst würde ja wohl kein Gleich gelten bei der ersten Gleichung) und vielleicht kann ich dann zeigen, dass c kein Teiler ist?
Ich vermute nämlich, dass es keine solchen Zahlentripel gibt, für die das gilt und dass die Aufgabe deshalb aus dem Skript gestrichen wurde.

mfg

17.12.2004, 18:54

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Du machst dir das viel zu kompliziert:

c ist ein Teiler von a*b, das folgt klar aus c*(a+b)=a*b.
Aber c ist nach Voraussetzung auch teilerfremd zu a und b, somit auch teilerfremd zu a*b.

Also bleibt nur c=1 oder c=-1 (falls beliebige ganze Zahlen zugelassen sind) !!!

18.12.2004, 01:37

Steve_FL

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Zitat:

falls beliebige ganze Zahlen zugelassen sind

da bin ich mir auch nicht sicher Augenzwinkern

Das heisst ich muss alle Werte für die gilt:
a + b = ab finden Augenzwinkern

naja, danke auf jeden Fall Augenzwinkern

18.12.2004, 10:45

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Zitat:

Original von Steve_FL
Das heisst ich muss alle Werte für die gilt:
a + b = ab finden Augenzwinkern

... und hier greift wieder der "Umformungs-Trick" (a-1)(b-1)=1, aber darauf bist du wohl selbst schon gekommen. Augenzwinkern

18.12.2004, 12:21

Steve_FL

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ne, den kannte ich nicht Augenzwinkern

Das heisst:
a, b = 0 oder a, b = 2 -> nicht teilerfremd -> gibt keine Lösungen?

Hab ich das richtig gedacht?

18.12.2004, 12:52

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Wie ich oben bereits geschrieben habe:

Sind a,b,c ganze Zahlen mit a*b=c, dann sind a und b Teiler von c.

erscheint trivial, ist aber eine mächtige Waffe: Nämlich dann, wenn es einem gelingt, seine Gleichung in solch eine Form mit einer Konstanten c zu bringen, und die Variablen durch das Produkt a*b irgendwie separiert werden. Dann muss man sich "nur" noch die Primfaktorzerlegung von c anschauen, und die weiteren Teilbetrachtungen sind dann i.a. einfacher als die Ursprungsgleichung.

Die Umformung a*b=a+b in (a-1)*(b-1)=1 ist ein Paradebeispiel für so ein Vorgehen: Rechts steht die Konstante 1, links werden durch die Produktbildung die Variablen a und b separiert.

24.12.2004, 13:26

Steve_FL

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stimmt

Danke ^^

Hab mir nun vorgenommen über die Weihnachtsferien jeden Tag mind. 1 Stunde zu üben Rock

Hab auch schon an folgender Aufgabe rumgerätselt und bin zu folgendem Ergebnis gekommen.

Aufgabe:
Zeige, dass für alle natürlichen Zahlen a, b, c folgende Gleichung erfüllt ist.
$\begin{eqnarray*} \frac{[a, b, c]^2}{[a, b] \cdot [b, c] \cdot [a, c]} = \frac{(a, b, c)^2}{(a, b) \cdot (b, c) \cdot (a, c)} \end{eqnarray*}$
wobei [a, b] das kgV von a und b und (a, b) den ggT von a und b bezeichnet.

Durch Umformungen bin ich soweit gekommen, dass ich zeigen kann, dass $\begin{eqnarray*} \frac{[a, b, c]^2}{[a, b] \cdot [b, c] \cdot [a, c]} = \frac{(a, b) \cdot (b, c) \cdot (a, c)}{(a, b, c)^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{(a, b, c)^2}{(a, b) \cdot (b, c) \cdot (a, c)} = \frac{[a, b] \cdot [b, c] \cdot [a, c]}{[a, b, c]^2} \end{eqnarray*}$ gilt.

Das heisst, ich müsste zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{[a, b, c]^2}{[a, b] \cdot [b, c] \cdot [a, c]} = \frac{(a, b, c)^2}{(a, b) \cdot (b, c) \cdot (a, c)} = 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Und da bleib ich hängen. Ich hab mir überlegt, ob ich es vielleicht dadurch zeigen kann, wenn ich ggT(a,b) beginne in die Primfaktoren zu zerlegen, mit $\begin{eqnarray*} (a, b) = p_1^{min\{ \alpha_1, \beta_1 \} } \cdot p_2^{min\{ \alpha_2, \beta_2 \} } \cdots p_r^{min\{ \alpha_r, \beta_r \} } \end{eqnarray*}$ . So müsste man vielleicht zeigen können, dass jeder Primfaktor von (a, b, c) im Produkt des Nenners doppelt vorkommt.

mfg

28.12.2004, 14:50

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Zitat:

Original von Steve_FL
Durch Umformungen bin ich soweit gekommen, dass ich zeigen kann, dass $\begin{eqnarray*} \frac{[a, b, c]^2}{[a, b] \cdot [b, c] \cdot [a, c]} = \frac{(a, b) \cdot (b, c) \cdot (a, c)}{(a, b, c)^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{(a, b, c)^2}{(a, b) \cdot (b, c) \cdot (a, c)} = \frac{[a, b] \cdot [b, c] \cdot [a, c]}{[a, b, c]^2} \end{eqnarray*}$ gilt.

Da irrst du dich: Z.B. a=1, b=2, c=4 liefert

$\begin{eqnarray*} [a,b]=2,\quad [b,c]=[a,c]=[a,b,c]=4,\quad (b,c)=2,\quad (a,b)=(a,c)=(a,b,c)=1 \end{eqnarray*}$

und folglich

$\begin{eqnarray*} \frac{[a,b,c]^2}{[a,b]\cdot[b,c]\cdot[a,c]}=\frac{1}{2},\qquad \frac{(a,b)\cdot(b,c)\cdot(a,c)}{(a,b,c)^2}=2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Steve_FL
Ich hab mir überlegt, ob ich es vielleicht dadurch zeigen kann, wenn ich ggT(a,b) beginne in die Primfaktoren zu zerlegen, mit $\begin{eqnarray*} (a, b) = p_1^{min\{ \alpha_1, \beta_1 \} } \cdot p_2^{min\{ \alpha_2, \beta_2 \} } \cdots p_r^{min\{ \alpha_r, \beta_r \} } \end{eqnarray*}$ .

Wenn du diese Überlegungen auch noch auf c und die "Dreierstrukturen" (a,b,c) und [a,b,c] ausdehnst, klingt das erfolgversprechend.

28.12.2004, 23:27

Steve_FL

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Ist es denn richtig, wenn ich versuche den kgV durch einen ggT auszudrücken mit der Überlegung, dass (a, b) * [a, b] = a * b ist?

Würde daraus nicht auch folgen, dass (a, b, c) * [a, b, c,] = a * b * c

Ich hab nämlich begonnen, die linke Seite umzuschreiben und kam so auf den Kehrbruch.

mfg

29.12.2004, 11:21

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(a, b, c) * [a, b, c] = a * b * c ist falsch, denk an das obige Beispiel a=1, b=2, c=4! Für die beiden Faktoren ggT und kgV im linken Produkt ist es z.B. völlig egal, ob man b=1, b=2 oder b=4 wählt - es bleibt (a, b, c) = 1 und [a, b, c] = 4. Für die rechte Seite ist der Wert von b aber offenbar nicht egal!

(a, b) * [a, b] = a * b ist nur deshalb richtig, weil pro Primfaktor einer der beiden Werte a,b den kleinsten und der andere dann den größten Exponenten beisteuert. (So wird zumindest meist der Beweis dieser Gleichung durchgeführt - ich weiß nicht, ob du ein entsprechendes Buch zur Zahlentheorie momentan zur Hand hast.) Auf drei und mehr Werte lässt sich das so nicht ausdehnen!

Im übrigen rate ich dir, die schon von dir erwähnte Idee weiter zu verfolgen, Primfaktoren getrennt zu betrachten. Zumindest bei dieser Aufgabe kommt man damit rasch zum Ziel.

29.12.2004, 12:47

Leopold

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Manchmal hilft auch schon die geeignete Form, wie man etwas aufschreibt - und schon steht das zu Beweisende da.

Jede positive ganze Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ kann bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig als Produkt von Primzahlen geschrieben werden. Es bezeichne $\begin{eqnarray*} h_p(a) \end{eqnarray*}$ die Häufigkeit, mit der die Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ enthalten ist. Zum Beispiel ist

$\begin{eqnarray*} h_2(1176) = 3 \, ; \ h_3(1176) = 1 \, ; \ h_5(1176) = 0 \, ; \ h_7(1176) = 2 \, ; \ h_p(1176) = 0 \, , \ \text{falls} \ p>7 \end{eqnarray*}$

Es gilt

$\begin{eqnarray*} a = \prod_p^{}~p^{h_p(a)} \end{eqnarray*}$

wobei das Produkt über alle Primzahlen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ zu erstrecken ist. Formal ist das Produkt ein unendliches, in Wirklichkeit ist es aber endlich, denn alle Exponenten bis auf ein paar am Anfang sind ja 0, so daß der entsprechende Faktor den Wert 1 hat (siehe das obige Beispiel).

Der Vorteil dieser Schreibweise ist, daß man dem ganzen Indexgewurstel entgeht und das Augenmerk darauf richten kann, worauf es wirklich ankommt.

Zum Beispiel gilt für beliebige positive ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a \cdot b \ = \ \prod_p^{}~p^{h_p(a)+h_p(b)} \end{eqnarray*}$

Auf diese Weise kann die Multiplikation auf eine Addition der Exponenten zurückgeführt werden.

Und weiter ist, wie du ja schon festgestellt hast:

$\begin{eqnarray*} (a,b) \ = \ \prod_p^{}~p^{\min{\left(h_p(a),h_p(b)\right)}} \, , \ \ \ [a,b] \ = \ \prod_p^{}~p^{\max{\left(h_p(a),h_p(b)\right)}} \end{eqnarray*}$

Oder bei drei Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (a,b,c) \ = \ \prod_p^{}~p^{\min{\left(h_p(a),h_p(b),h_p(c)\right)}} \, , \ \ \ [a,b,c] \ = \ \prod_p^{}~p^{\max{\left(h_p(a),h_p(b),h_p(c)\right)}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt würde ich die zu beweisende Behauptung erst einmal durch Hochmultiplizieren der Nenner äquivalent in eine rein multiplikative Form bringen. Mit den obigen Regeln kannst du die Multiplikationen auf Additionen in den Exponenten zurückführen. Und dann läuft alles auf die Richtigkeit einer max-min-Gleichung für drei beliebige (reelle) Zahlen $\begin{eqnarray*} u,v,w \end{eqnarray*}$ hinaus, die man über eine o.B.d.A.-Annahme $\begin{eqnarray*} u \leq v \leq w \end{eqnarray*}$ sofort zeigen kann.

03.01.2005, 22:40

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(Schwere?) Zahlentheorie-Aufgabe
@Steve_FL

Da du dich gerade mit Zahlentheorie rumquälst, habe ich mal in meinen alten Unterlagen gestöbert, und folgende Aufgabe zu Tage gefördert:

Zitat:

Seien k >= 2 und n_1,n_2,...,n_k >= 1 natürliche Zahlen mit der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} n_2\big|\left(2^{n_1}-1\right),\quad n_3\big|\left(2^{n_2}-1\right),\quad\ldots\quad, n_k\big|\left(2^{n_{k-1}}-1\right),\quad n_1\big|\left(2^{n_k}-1\right) \end{eqnarray*}$

Man zeige, dass n_1=n_2=...=n_k=1 ist.

(Wie üblich, bedeutet a|b , dass a ein Teiler von b ist.)

03.01.2005, 22:56

Steve_FL

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danke

Aber ich hab momentan genug Aufgaben.
Ich sollte nicht nur Zahlentheorie, sondern auch Geometrie, Kombinatorik, vollständige Induktion und Schubfachprinzip üben Big Laugh

Ich werde mir die Aufgabe aber demnächst mal anschauen.

mfg

03.01.2005, 23:16

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Dann bist du ja ausreichend beschäftigt. Big Laugh

Die obige Aufgabe ist natürlich für alle Interessierten offen!

Off topic: Kannst übrigens mal im Filmzitate-Thread vorbeischauen und deinen Segen zu "X-Men" geben...

10.01.2005, 18:04

Steve_FL

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ich hab das mit min und max mal versucht Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{(a, b, c)^2}{(a, b) \cdot (a, c) \cdot (b, c)} = \frac{[a, b, c]^2}{[a, b] \cdot [a, c] \cdot [b, c]} \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Gleichung dann umschreibe, sieht das so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{p_1^{2 \cdot min \{ \alpha_1; \beta_1; \gamma_1 \}} \cdots p_r^{2 \cdot min \{ \alpha_r; \beta_r; \gamma_r \} }} {p_1^{min \{ \alpha_1; \beta_1 \} + min \{ \alpha_1; \gamma_1 \} + min \{ \beta_1; \gamma_1 \} } \cdots p_r^{min \{ \alpha_r; \beta_r \} + min \{ \alpha_r; \gamma_r \} + min \{ \beta_r; \gamma_r \}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{p_1^{2 \cdot max \{ \alpha_1; \beta_1; \gamma_1 \}} \cdots p_r^{2 \cdot max \{ \alpha_r; \beta_r; \gamma_r \}}} {p_1^{max \{ \alpha_1; \beta_1 \} + max \{ \alpha_1; \gamma_1 \} + max \{ \beta_1; \gamma_1 \} } \cdots p_r^{max \{ \alpha_r; \beta_r \} + max \{ \alpha_r; \gamma_r \} + max \{ \beta_r; \gamma_r \}}} \end{eqnarray*}$

(so, jetzt muss ich mir den Code erst ansehen, bevor ich weiterschreibe ^^wär ja auch zu schön gewesen, wenn das beim ersten Mal geklappt hätte...)

hm...ich kriegs nicht hin. Weiss jemand, wo der Fehler liegt, wieso er diesen Code nicht kompilieren kann? Und jetzt sagt nicht, ich hätte die Latex-Klammern vergessen...die hab ich jetzt weggenommen, damit ihr den Code sehen könnt...

Zur Aufgabe: ich hab den ggT durch $\begin{eqnarray*} p_1^{min\{\alpha_1, \beta_1\}} \cdots p_r^{min\{\alpha_r, \beta_r\}} \end{eqnarray*}$ auszudrücken.
kgV entsprechend mit max und bei ggT(a, b, c) halt mit den 3 Elementen für die min- und max-Menge.
und dann hab ich bei den unteren Dreierkombinationen jeweils alle Exponenten für die gleiche Basis mit addition zusammengefasst und begonnen zu kürzen und dann kommt halt was raus, was ich mit $\begin{eqnarray*} mid\{\alpha, \beta\} \end{eqnarray*}$ bezeichnete und die waren auf beiden Seiten gleich verteilt.

10.01.2005, 18:32

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Ein ganz schönes LaTeX-Monster:

$\begin{eqnarray*} \frac{p_1^{2 \cdot min \{ \alpha_1; \beta_1; \gamma_1 \}} \cdots p_r^{2 \cdot min \{ \alpha_r; \beta_r; \gamma_r \} }} {p_1^{min \{ \alpha_1; \beta_1 \} + min \{ \alpha_1; \gamma_1 \} + min \{ \beta_1; \gamma_1 \} } \cdots p_r^{min \{ \alpha_r; \beta_r \} + min \{ \alpha_r; \gamma_r \} + min \{ \beta_r; \gamma_r \}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{p_1^{2 \cdot max \{ \alpha_1; \beta_1; \gamma_1 \}} \cdots p_r^{2 \cdot max \{ \alpha_r; \beta_r; \gamma_r \}}} {p_1^{max \{ \alpha_1; \beta_1 \} + max \{ \alpha_1; \gamma_1 \} + max \{ \beta_1; \gamma_1 \} } \cdots p_r^{max \{ \alpha_r; \beta_r \} + max \{ \alpha_r; \gamma_r \} + max \{ \beta_r; \gamma_r \}}} \end{eqnarray*}$

10.01.2005, 18:40

Mathespezialschüler

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@Steve_FL
Du hast mMn vor dem "=" eine "}" vergessen.

10.01.2005, 18:54

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Steve FL

Sind da in der zu beweisenden Formel nicht ein paar Quadrate zu viel?

10.01.2005, 19:48

Steve_FL

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aaaahhhhhhh Big Laugh

ja klar

Danke Leopold...
jetzt müssts stimmen

@Arthur Dent:
stimmt die Idee?
kann man das mit "mid(a, b, c)" machen?

10.01.2005, 19:55

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Also wenn "mid(a, b, c)" die mittlere der drei Zahlen a, b, c in geordneter Reihenfolge sein soll, dann scheinst du auf dem richtigen Weg zu sein. Freude

10.01.2005, 19:58

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibe zunächst die zu beweisende Gleichung bruchfrei, wie ich es dir oben schon geraten habe. Verwende dann die folgende Gleichung für beliebige reelle $\begin{eqnarray*} u,v,w \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left( \min(u,v,w) \right)^2 \cdot \max(u,v) \cdot \max(u,w) \cdot \max(v,w) \ = \ \left( \max(u,v,w) \right)^2 \cdot \min(u,v) \cdot \min(u,w) \cdot \min(v,w) \end{eqnarray*}$

Der Beweis dieser Gleichung ist simpel, wenn du z.B. o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} u \leq v \leq w \end{eqnarray*}$ annimmst und beide Seiten dann getrennt ausrechnest.

10.01.2005, 23:51

Steve_FL

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn das mit dem mid(a, b, c) geht, dann ist das kein Problem. Dann hab ich die Aufgabe fertig. hab die heute in der Schule nämlich so gelöst und wollte nur sicher gehen, dass der Weg auch so machbar ist Augenzwinkern

Danke ^^

Am Samstag hab ich die erste Vorselektionsprüfung, dann kommt aus, ob ich gut gelernt habe.

mfg

10.01.2005, 23:54

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Interessehalber: Wo startest du eigentlich - in Österreich oder der Schweiz?

11.01.2005, 16:37

Steve_FL

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interessante Frage Augenzwinkern

Vorselektion mach ich in der Schweiz. Doch falls ich an die Olympiade gehen kann, starte ich für Liechtenstein. Dieses Jahr gibt es das erste mal ein Team Liechtenstein (haben ein Kumpel und ich zusammen mit einem Leiter des Schweizer Teams organisiert, obwohl ich nicht viel damit zu tun hatte.)

mfg

11.01.2005, 18:43

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Hmmm, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann hat Liechtenstein noch nie an der IMO teilgenommen?

Na, wenn das kein Ansporn ist, das zu ändern!

11.01.2005, 19:34

Steve_FL

Auf diesen Beitrag antworten »

hast du richtig verstanden Augenzwinkern

Ich bemüh mich ja auch ^^
Aber das ist ja nicht grad das Topic des Threads smile

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