Ich üb mal wieder für die Olympiade - Seite 3

16.01.2005, 18:46

Steve_FL

Bemühungen erfolgreich :P

Bin ne Runde weiter. Gestern war die Prüfung. Wir hatten 2 Stunden Zeit für folgende 5 Aufgaben:

1. Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} ABCD \end{eqnarray*}$ ein Rechteck mit $\begin{eqnarray*} |AD| \leq |AB| \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ der Mittelpunkt der Strecke $\begin{eqnarray*} AD \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ der Mittelpunkt der Strecke $\begin{eqnarray*} BC \end{eqnarray*}$ . Der Punkt $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ sei die Projektion von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ auf die Gerade $\begin{eqnarray*} CM \end{eqnarray*}$ .
(a) Zeige, dass $\begin{eqnarray*} ANEM \end{eqnarray*}$ ein gleichschenkliges Trapez ist.
(b) Zeige, dass die Fläche des Vierecs $\begin{eqnarray*} ABNE \end{eqnarray*}$ halb so gross ist, wie die Fläche von $\begin{eqnarray*} ABCD \end{eqnarray*}$ .

2. Aufgabe
Zeige, dass es in jedem konvexen 9-Eck zwei verschiedene Diagonalen gibt, sodass die beiden Geraden, auf denen diese Diagonalen liegen, entweder parallel sind, oder sich in einem Winkel von weniger als 7° schneiden.

3. Aufgabe
Seien $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ teilerfremde natürliche Zahlen. Zeige, dass dann auch die beiden Zahlen $\begin{eqnarray*} m^3 + mn + n^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} mn(m+n) \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind.

4. Aufgabe
Sei $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ ein Dreieck mit $\begin{eqnarray*} \angle BAC = 60° \end{eqnarray*}$ . Finde alle Punkte $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ im Innern dieses Dreiecks mit folgender Eigenschaft:
Ist $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ die Projektion von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf die Gerade $\begin{eqnarray*} BC \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ die Projektion von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} CA \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ die Projektion von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} \angle EDF = 30° \end{eqnarray*}$ .

5. Aufgabe
Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Menge mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Elementen. Bestimme die Anzahl Möglichkeiten, drei Teilmengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ auszuwählen, sodass gilt:
$\begin{eqnarray*} A \cap B \neq \{\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B \cap C \neq \{\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A \cap C \neq \{\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A \cap B \cap C = \{\} \end{eqnarray*}$ .

Ich habe die 1. Aufgabe vollständig gelöst und bei der 4. noch einen Punkt geholt, da ich schlichtwegs zu wenig Zeit hatte Augenzwinkern

Ich hab mir bei der ersten Aufgabe zu viel Zeit genommen.

mfg

16.01.2005, 18:56

pimaniac

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