Ich üb mal wieder für die Olympiade - Seite 8

13.07.2005, 18:49

In den Berichten der letzten Jahre

http://www.mathematik-olympiaden.de/IMOs/imo.htm

sind jedenfalls keine solchen Ausnahmefälle zu entdecken.

13.07.2005, 21:25

Sciencefreak

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Hast du eine Ahnung, wer dieses Jahr von Deutschland mitgefahren ist?
Ich habe wenn ich es mir recht überlege vielleicht doch so gut wie keine Chance da mitzumachen, denn in meinem Jahrgang gibt es einen, der hat bisher immer einen ersten Preis bei der Bundesrunde geholt, dann gibt es eine Klasse über mir Peter Scholze, der auch garantiert mitfährt (Ich versteh nicht wie ein damals Zehntklässler besser sein konnte als alle anderen aus dem Team) und dann war der Zweitbeste Deutsche auch noch ein damaliger Zehntklässler. Und noch ein weiterer aus dem Jahrgang ist mitgefahren, somit gibt es erst mal 4 Leute die anscheinend sehr viel besser sind als ich. Vielleicht habe ich ja wie Steve in der 13.Klasse dann mal eine Chance da hin zu kommen. Jüngere Teilnehmer werden doch genauso behandelt wie die anderen, oder? Also sieht das ganze sehr schlecht aus für mich, aber immerhin bin ich noch derjenige der Zweitbeste in meiner Klassenstufe wenn es nach der Matheolympiade geht, also noch ist nicht alle Hoffnung verloren.

13.07.2005, 21:35

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Ja bei der Auswahlwahrscheinlichkeit hatte Steve zweifelsohne Vorteile:

Liechtenstein: 1 aus 34.000
Deutschland; 6 aus 82.000.000

(der Einfachheit halber habe ich die Gesamtbevölkerung genommen, ist natürlich nicht ganz passend)

Dafür musste er erstmal dafür kämpfen, dass Liechtenstein überhaupt jemand schickt. War ja dieses Jahr das erste Mal überhaupt.

13.07.2005, 21:38

Sciencefreak

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Der beste von 34.000 bin ich vielleicht auch noch, da wäre Potsdam ja noch größer. Aber ich glaube ich ziehe deshalb trotzdem nicht nach Lichtenstein. Und wenn ich es wirklich schaffen sollte, dann kann ich wenigestens richtig stolz auf mich sein.

Bist du dir sicher, dass die Einwohnerzahlen der Wahrheit entsprechen?
Edit:Encarta meint auch, dass Lichtenstein recht klein ist. Eine Hauptstadt mit der Einwohnerzahl von 4900 ist doch etwas seltenes

13.07.2005, 21:52

Ari

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Ich wünsch dem Steve ebenfalls viel viel Erfolg Freude

der beste aus 34.000, das muss man erst mal schaffen!

13.07.2005, 21:59

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Zitat:

Original von Sciencefreak
Aber ich glaube ich ziehe deshalb trotzdem nicht nach Liechtenstein.

Das soll auch nicht so einfach sein, die haben nämlich vergleichbar harte Einbürgerungspraktiken wie ihr Nachbar Schweiz. Verlockende bessere IMO-Aussichten dürfte den Einwanderungsbeamten nur ein kaltes Lächeln entlocken. Wenn du ein paar Millionen Euro mitbringst, sieht es vielleicht schon anders aus. Augenzwinkern

14.07.2005, 16:59

Sciencefreak

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Dafür sollten eigentlich die Chancen , dass ein bestimmter Detuscher gewinnt größer sein als das einer aus Lichtenstein gewinnt.

Aber ich übe lieber ein wenig weiter und habe mal wieder eine schöne Aufgabe gefunden, dass sind immer die Aufgaben, bei denen ich Probleme bekomme, weil ich sie zwar lösen kann, das ganze aber nicht ordentlich formulieren kann.

In der Ebene seien 3n Punkte gegeben, von denen keine 3 auf einer Gerade liegen. Kann man aus diesen Punkten(wenn man sie als Eckpunkte nimmt) n Dreiecke bilden, die keinen Punkt gemeinsam haben und auch nicht überlappen?

Wäre mal auf eine vernünftige Lösung gespannt, ich glaub ich kann eine halbwegs richtige Lösung, aber die ist schwer aufzuschreiben.

14.07.2005, 17:26

therisen

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Hier die Aufgaben von gestern: http://erdos.fciencias.unam.mx/1dayenglish.pdf

Gruß, therisen

14.07.2005, 17:40

Sciencefreak

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NA wenigstens hatte Steve nicht das roblem, dass er die Aufgaben slebst übersetzen musste. Denn manchmal verändern ganz unscheinbare Wörter die ganze Sache erheblich. Welche Sprache spricht man eigentlich in Lichtenstein? Und gibt es vielleicht auch irgendwo die Aufgaben auf Deutsch, ich glaub zwar ich habe sie halbwegs richtig verstanden, aber 2. kommt mir irgendwie komisch vor

14.07.2005, 19:21

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Zitat:

Original von Sciencefreak
aber 2. kommt mir irgendwie komisch vor

Wieso? Das scheint mir die einfachste von den dreien, vielleicht weil ich die raus habe. Die erste scheint auch irgendwie machbar, aber die am leichtesten übersetzbare dritte Aufgabe scheint mathematisch die härteste Nuss zu sein - ich sehe zumindest bislang keinen Weg. verwirrt

EDIT: Ich hab mir mal die Mühe der Übersetzung gemacht - hoffentlich sinngemäß richtig... Augenzwinkern

Zitat:

46.IMO - 1.Aufgabe:

Auf den Seiten eines gleichseitigen Dreiecks $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ werden sechs Punkte gewählt: $\begin{eqnarray*} A_1,A_2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} BC \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B_1,B_2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} CA \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_1,C_2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ . Diese Punkte bilden die Eckpunkte eines konvexen Sechsecks $\begin{eqnarray*} A_1A_2B_1B_2C_1C_2 \end{eqnarray*}$ mit gleichlangen Seiten. Beweisen Sie, dass sich die Geraden $\begin{eqnarray*} A_1B_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B_1C_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_1A_2 \end{eqnarray*}$ in einem Punkt schneiden.

46.IMO - 2.Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,\ldots \end{eqnarray*}$ eine Folge ganzer Zahlen mit unendlich vielen positiven und unendlich vielen negativen Gliedern. Für jede positive Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ lassen die Zahlen $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,\ldots,a_n \end{eqnarray*}$ insgesamt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ verschiedene Reste bei Division durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie, dass jede ganze Zahl genau einmal als Folgenglied auftaucht.

46.IMO - 3.Aufgabe:

Es seien $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ positive reelle Zahlen mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} xyz=1 \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie, dass dann

$\begin{eqnarray*} \frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} + \frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2} + \frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2} \geq 0 \end{eqnarray*}$

gilt.

EDIT2: Hat sich erübrigt, jetzt gibt es auch die deutsche Version zum Download.

http://erdos.fciencias.unam.mx/1tagdeutsch.pdf

EDIT3: LaTeX-Editieren der Formel von Aufgabe 3, wegen Verschlimmbesserung der Foren-Software.

14.07.2005, 20:59

Sciencefreak

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Dir ging es genauso wir mir. Das war die einzige Aufgabe wo mir sofort etwas eingefallen ist und ich dachte, dass das nicht sein kann, deshalb habe ich daran gezweifelt. Ich hatte sie aber genauso übersetzt wie du. Und die erste kommt mir irgendwie auch komisch vor. Wenn ein Sechseck konvex ist und gleichlange Seiten hat, dann ist es doch ein regelmäßiges 6-Eck und diese Geraden müsten sich doch im Umkreis- und Inkreismittelpunkt schneiden oder habe ich da etwas falsch verstanden?

14.07.2005, 21:21

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Wie hast du denn die zweite gelöst?

14.07.2005, 21:33

Sciencefreak

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Gelöst habe ich sie noch nicht, aber ich habe schon in etwa eine Idee, wie es gehen könnte. Habe aber leider keine Zeit dafür, da ich immer noch an den Aufgaben vom Bundeswettbewerb sitze von denen eine es wirklich in sich hat.

Was habe ich eigentlich an der ersten Aufgabe falsch verstanden?

14.07.2005, 21:52

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Ein paar mehr Sechsecke gibt es schon, z.B. solche:

14.07.2005, 23:22

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Zitat:

Original von Sciencefreak
In der Ebene seien 3n Punkte gegeben, von denen keine 3 auf einer Gerade liegen. Kann man aus diesen Punkten(wenn man sie als Eckpunkte nimmt) n Dreiecke bilden, die keinen Punkt gemeinsam haben und auch nicht überlappen?

Betrachte die konvexe Hülle H der 3n Punkte: Der Rand davon ist ein konvexes m-Eck ( 3 <= m <= 3n ), wobei die m Eckpunkte aus der Menge der 3n Punkte stammen. Seien nun A,B,C aufeinander folgende Eckpunkte dieses m-Ecks. Jetzt nehmen wir mal B gedanklich weg und betrachten erneut eine konvexe Hülle H', aber diesmal die der (3n-1) restlichen Punkte. Da sind jetzt wieder A und C auf dem Rand von H'; der Streckenzug $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ auf dem Rand von H wird jetzt aber durch $\begin{eqnarray*} P_1\ldots P_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P_1=A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_k=C \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k\geq 2 \end{eqnarray*}$ , auf dem Rand von H' ersetzt.

Jetzt nimmst du das Dreieck $\begin{eqnarray*} BP_1P_2 \end{eqnarray*}$ , dessen Inneres garantiert disjunkt zu H' und damit erst recht disjunkt zur konvexen Hülle der nunmehr nur noch (3n-3) Restpunkte ist. Und dann natürlich Induktion.

15.07.2005, 21:20

Ari

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Mal so ne kleine Verständnisfrage smile

Zu Aufgabe 3: muss man denn da "nur" die Ungleichung umformen oder was muss man da machen? Das wäre doch zu einfach... verwirrt

?

Bei Aufgabe 2 verstehe ich

Zitat:

Für jede positive Zahl n lassen die Zahlen $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,\ldots,a_n \end{eqnarray*}$ insgesamt n verschiedene Reste bei Division durch n.

nicht. Das wäre im Beispiel: aus 5/5 bleibt rest 5 verwirrt

? SOrry für diese doofen Fragen aber ich steig durch den Satz nicht so wirklich durch smile

15.07.2005, 21:34

therisen

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Zitat:

Original von Ari
Mal so ne kleine Verständnisfrage smile

Zu Aufgabe 3: muss man denn da "nur" die Ungleichung umformen oder was muss man da machen? Das wäre doch zu einfach... verwirrt

Im Prinzip ja Big Laugh

Probiers ruhig mal und poste was du denkst Big Laugh

Zitat:

Bei Aufgabe 2 verstehe ich

Zitat:

Für jede positive Zahl n lassen die Zahlen $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,\ldots,a_n \end{eqnarray*}$ insgesamt n verschiedene Reste bei Division durch n.

nicht. Das wäre im Beispiel: aus 5/5 bleibt rest 5 verwirrt

? SOrry für diese doofen Fragen aber ich steig durch den Satz nicht so wirklich durch smile

Beispiel: n=3

$\begin{eqnarray*} a_1 \equiv b_1 \pmod 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2 \equiv b_2 \pmod 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3 \equiv b_3 \pmod 3 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} b_i\neq b_j \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

15.07.2005, 21:43

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Seltsam, dass auf der offiziellen Website (bisher?) nur die Aufgaben des ersten Tages zu finden sind:

http://erdos.fciencias.unam.mx/examinations.htm

verwirrt

15.07.2005, 21:47

therisen

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Hallo Arthur,
das ist allerdings seltsam, zumal in diversen anderen Foren bereits alle Aufgaben gepostet wurden. Allerdings gehe ich bei deiner gewählten Formulierung davon aus, dass du das bereits weißt Augenzwinkern

Bei Bedarf kann ich diese aber hier auch posten.

Gruß, therisen

15.07.2005, 21:50

Ari

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Ok ich werde mich mal an einer Umformung versuchen...

Tut mir leid, aber ich verstehe diese "mod" (modular?) nicht...was drücken die denn aus? Oder kann man die auch umgehen? Sorry kenne das nicht smile

15.07.2005, 21:51

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@therisen

Nö, ich weiß es nicht, also poste mal. Die 6. kriege ich aber eh nicht raus, weil das eh immer die schwerste ist. Augenzwinkern

15.07.2005, 22:27

therisen

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Hallo Arthur,
sei mal nicht so vorschnell. Die 6. Aufgabe dürfte gerade DIR sehr gefallen Augenzwinkern

Zitat:

4. Determine all positive integers relatively prime to all the terms of the infinite sequence $\begin{eqnarray*} a_n=2^n+3^n+6^n-1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Anmerkung: relatively prime = teilerfremd

5. Let ABCD be a fixed convex quadrilateral with BC=DA and BC not parallel with DA. Let two variable points E and F lie of the sides BC and DA, respectively and satisfy BE=DF. The lines AC and BD meet at P, the lines BD and EF meet at Q, the lines EF and AC meet at R.

Prove that the circumcircles of the triangles PQR, as E and F vary, have a common point other than P.

6. In a mathematical competition in which 6 problems were posed to the participants, every two of these problems were solved by more than $\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} \end{eqnarray*}$ of the contestants. Moreover, no contestant solved all the 6 problems. Show that there are at least 2 contestants who solved exactly 5 problems each.

Gruß, therisen

15.07.2005, 22:39

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Über die 6. muss ich noch nachdenken, aber die 4. ist der reinste Witz. Dass die durch die Auswahlkommission gekommen ist, kaum zu glauben. smile

EDIT: Und zur Nummer 5 reiche ich mal eine kleine Skizze nach

17.07.2005, 08:31

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Lang hat's gedauert, aber jetzt ist der zweite Tag auch in der deutschen Version verfügbar:

http://erdos.fciencias.unam.mx/2tagdeutsch.pdf

Und Zwischenresultate der Korrektur gibt es auch schon:

http://erdos.fciencias.unam.mx/previousResults.htm

Wird ja nun leider nichts mit einem Preis für Steve, aber davon lässt er sich hoffentlich nicht die Laune verderben. Übrigens, das deutsche Team scheint diesmal recht ordentlich abzuschneiden.

UPDATE: Inzwischen ist die Korrektur beendet:

http://erdos.fciencias.unam.mx/results.htm

Deutschland hat sich im Vergleich zum Vorjahr deutlich verbessert: 1 x Gold, 3 x Silber, 2 x Bronze, insgesamt Platz 12 der Länderwertung (wenn ich mich nicht verzählt habe. Augenzwinkern

) Herausragend ist, dass einer der sechs deutschen Teilnehmer die volle Punktzahl (!) von 42 Punkten erreichen konnte.

Aufgabe 3, die ich oben schon als ziemlich schwer eingeschätzt habe, war wohl die härteste Nuss für die Teilnehmer, gefolgt von Aufgabe 6. Und Aufgabe 4 war die leichteste, wie nicht anders zu erwarten war.

17.07.2005, 13:30

Mathespezialschüler

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Die Chinesen sind ja krass! geschockt

Übrigens, Arthur: Den Deutschen mit voller Punktzahl kenne ich (sehr wahrscheinlich).
Er war letztes Jahr schon ziemlich gut und ab nächstem Schuljahr (was in 3 Wochen beginnt) bin ich auf der gleichen Schule (und wahrscheinlich in der gleichen Klasse!). Er ist also dann erst 12. Klasse! Das ist eine mathematisch-naturwissenschaftlich-profilierte Schule und was ich am krassesten finde: Weil er so gut ist, wird er auch schon an der Uni unterrichtet und dort richtig gefördert und ich habe gehört, dass er jetzt schon im 6. (!!!) Semester mitmacht! geschockt

Gruß MSS

17.07.2005, 13:40

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Na dann wird er wohl unmittelbar nach dem Abitur die Diplomarbeit, oder gar die Dissertation einreichen - warum auch nicht. Augenzwinkern

17.07.2005, 13:43

Mathespezialschüler

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Eigentlich unvorstellbar! Hammer

Gruß MSS

17.07.2005, 19:42

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Ich hab nochmal über die 3. nachgedacht, die ist tatsächlich mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung knackbar. Unter dem Zeitdruck des Wettbewerbs wäre ich vermutlich aber auch nicht drauf gekommen. Und dabei haben wir hier sowas noch diskutiert...

19.07.2005, 18:27

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Übrigens, Arthur: Den Deutschen mit voller Punktzahl kenne ich (sehr wahrscheinlich).
Er war letztes Jahr schon ziemlich gut und ab nächstem Schuljahr (was in 3 Wochen beginnt) bin ich auf der gleichen Schule (und wahrscheinlich in der gleichen Klasse!). Er ist also dann erst 12. Klasse! Das ist eine mathematisch-naturwissenschaftlich-profilierte Schule

Mal noch 'ne Frage: Ist das die Heinrich-Hertz in Berlin? Da hab ich summa summarum in den 80ern einige Wochen (so ca. 15) zugebracht, ohne je dort Schüler gewesen zu sein.

19.07.2005, 18:45

Mathespezialschüler

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Ja, das ist sie. Du hast an der Schule 15 Wochen verbracht? Oder nur in Berlin? Was hast du denn da gemacht? Augenzwinkern

Gruß MSS

19.07.2005, 18:47

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Passend zum Thread: Die IMO-Auswahllehrgänge der DDR fanden immer dort statt.

19.07.2005, 18:54

Mathespezialschüler

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Und, warst du auch mal dabei? Augenzwinkern

Gruß MSS

19.07.2005, 19:11

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Ehrensache, war ja in einem 16Mio-Land auch einfacher als heute. Augenzwinkern

20.07.2005, 22:01

Steve_FL

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Holla Back Big Laugh

Naja...zu berichten gibts nicht viel smile

Ich hatte bloss 3 Punkte und das nur...
Hab am 1. Tag die ganze Zeit an der 1. Aufgabe gebrütet, weil ich dachte, das ist die einfachste und hab bloss einen Punkt geholt, weil ich eben auch der Meinung war, dass nur das regelmässige Sechseck die Lösung sein kann...
hat mich nachher genervt, dass ich die 2. nicht versucht habe, da ich da bestimmt mehr erreichen hätte können.

Und dann hab ich bei 4 und 5 noch je einen Punkt, im Nachhinein auch ärgerlich, weil ich bei der 4. die richtige Idee hatte, aber weil es bei einem Spezialfall nicht gilt, hab ich es nicht aufgeschrieben Forum Kloppe

peinlich, peinlich...hab aber trotzdem am meisten Punkte von unserem Land Big Laugh

20.07.2005, 22:34

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Wie ich oben schon schrieb: Hauptsache, du hast dir die gute Laune nicht verderben lassen. Und ich denke mal, bei euch als Premiere-Teilnehmern eures Landes wurde auch kein Druck in Richtung Preise o.ä. aufgebaut. In Deutschland und anderen großen Ländern ist das zumindest unterschwellig der Fall.

Das mit der ersten Aufgabe ist in der Tat gemein, das ist meist wirklich die leichteste. Die zweite und vierte waren aber diesmal deutlich leichter.

Kennst du eigentlich die Musterlösungen? Insbesondere die zu 1. und 6. würden mich interessieren (die anderen sind mir einigermaßen klar).

21.07.2005, 02:23

Steve_FL

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nein, hab die noch nicht erhalten. Da der Hurricane vorbeikamen, hatten sie in der Druckerei Stromausfall und konnten nicht für alle Länder das Heftchen mit den Resultaten drucken. Sollten wir aber noch zugeschickt bekommen.

Bei der vierten hab ich ne Tabelle gemacht, wo n-te Potenzen mod p betrachtet werden (p = 2, 3, 5, 7, 11 hab ich getestet) und ausser bei drei ist immer bei p-2 die Summe $\begin{eqnarray*} 2^n + 3^n + 6^n \equiv 1 \end{eqnarray*}$ (mod p).
Ich hatte also die richtige Vermutung *heul* smile

Druck lastete wirklich keiner auf uns, aber ärgerlich find ich es jetzt im Nachhinein trotzdem.
Tja, jetzt ists vorbei und nächstes Jahr bin ich Student und zu alt smile

Aber man kann hier ja trotzdem noch über solche Aufgaben diskutieren smile

21.07.2005, 22:35

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Zitat:

Original von Steve_FL
Da der Hurricane vorbeikamen, hatten sie in der Druckerei Stromausfall und konnten nicht für alle Länder das Heftchen mit den Resultaten drucken.

Stimmt ja, Emily ist auch dort durchgezogen. geschockt

Aber wie ersichtlich, hast du "sie" ja gut überstanden.

21.07.2005, 23:26

Steve_FL

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ja. Es hiess, sie komme direkt auf uns zu, aber sie ist dann kurz vor Merida abgebogen und wir hatten nur ein paar Winde Augenzwinkern

25.07.2005, 21:56

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Für Interessierte habe ich mal zu jeder der beiden Geometrieaufgaben der diesjährigen IMO eine Euklid-Zeichnung angefertigt, die jeweils die Aufgabenstellung sowie (möglicherweise) hilfreiche Punkte und Linien zur Lösung beinhalten.

Zitat:

46.IMO - 1.Aufgabe:

Auf den Seiten eines gleichseitigen Dreiecks $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ werden sechs Punkte folgendermaßen gewählt: $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} BC \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} CA \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ , wobei diese Punkte die Eckpunkte eines konvexen Sechsecks $\begin{eqnarray*} A_1A_2B_1B_2C_1C_2 \end{eqnarray*}$ mit gleich langen Seiten sind.

Man beweise, dass sich die Geraden $\begin{eqnarray*} A_1B_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B_1C_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_1A_2 \end{eqnarray*}$ in einem Punkt schneiden.

Zitat:

46.IMO - 5.Aufgabe:

Gegeben sei ein konvexes Viereck $\begin{eqnarray*} ABCD \end{eqnarray*}$ , in dem die Seiten $\begin{eqnarray*} BC \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} AD \end{eqnarray*}$ gleich lang und nicht parallel sind. Auf den Seiten $\begin{eqnarray*} BC \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} AD \end{eqnarray*}$ werden die inneren Punkte $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ so gewählt, dass $\begin{eqnarray*} \overline{BE}=\overline{DF} \end{eqnarray*}$ gilt. Die Geraden $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} BD \end{eqnarray*}$ schneiden sich in $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , die Geraden $\begin{eqnarray*} BD \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} EF \end{eqnarray*}$ schneiden sich in $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ und die Geraden $\begin{eqnarray*} EF \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ schneiden sich in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ . Es werden alle Dreiecke $\begin{eqnarray*} PQR \end{eqnarray*}$ betrachtet, wenn $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ variieren.

Man beweise, dass die Umkreise dieser Dreiecke einen von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ verschiedenen gemeinsamen Punkt haben.

26.07.2005, 00:07

Steve_FL

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cool

Schau ich mir nachher mal an Augenzwinkern

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