Eigenwerte ohne charakteristisches Polynom

11.04.2007, 17:37

Felipe

Eigenwerte ohne charakteristisches Polynom

Nabend miteinander!

Ich muss mal wieder für eine Klausur lernen und habe eine Aufgabe gefunden, bei der ich nicht genau weiß, was ich machen soll.

Gegeben sei die Matrix

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} -7 & -1 & 3 & 4 \\ -6 & -2 & 2 & 5 \\ -4 & -1 & 2 & 2 \\ -8 & -1 & 3 & 5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Zeigen sie (ohne Berechnung des charakteristischen Polynoms), dass 1 und -1 Eigenwerte von A sind
b) Bestimmen sie die Jordansche Normalform von A

Wie Eigenwerte berechnet werden weiß ich, aber ich habe keine ahnung, wie ich beweisen soll, dass 1 und -1 Eigenwerte von A sind ohne das Polynom auszurechnen.
Und beim Thema Jordan schaltet mein Gehirn eh sofort ab!

also wenn wer Rat weiß, einfach schreiben Big Laugh

11.04.2007, 17:49

Mazze

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Sei v ein Eigenvektor zu Eigenwert 1, dann ist also

$\begin{eqnarray*} Av = v \end{eqnarray*}$

a) Das ist ein Gleichungssystem mit n unbekannten was Du lösen kannst. Und wenn es lösbar ist dann hast Du einen Eigenwert, nämlich 1. Analog für -1.
berechne am besten gleich die Basen der Lösungsräume

$\begin{eqnarray*} Av = v ~ und ~ Av = -v \end{eqnarray*}$

b) Wenn Du die Lösungsräume hast, weisst Du zumindest schon wieviel einzelne Blöcke von einsen bzw. minus einsen du hast. Den Rest kriegt man mit etwas überlegen hin.

11.04.2007, 18:13

Felipe

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Ach du meinst wegen $\begin{eqnarray*} Av = \lambda v \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ der (die) Eigenwert(e) sind und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ der (die) Eigenvetor(en)
einfach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ einsetzen und dann das System lösen? Aber um das machen zu können muss ich doch erst die Eigenvektoren bestimmen oder nicht?

11.04.2007, 18:32

Mazze

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Zitat:

Aber um das machen zu können muss ich doch erst die Eigenvektoren bestimmen oder nicht?

Nö, das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} Av = v \end{eqnarray*}$ kannst Du immer betrachten egal ob Du die Eigenwerte kennst oder nicht. Die Sache ist einfach, wenn das System lösbar ist, dann ist 1 ein Eigenwert. Und ob es lösbar ist kann man leicht mit Gauss nachrechnen. Das geht für jeden bel. Eigenwert, man könnte sogar allgemeiner

$\begin{eqnarray*} Av = \lambda v \end{eqnarray*}$

betrachten. Aber wie gesagt, da man Dir 1 und -1 schon gegeben hat reicht es völlig zu zeigen das

$\begin{eqnarray*} Av = v ~ und ~ Av = -v \end{eqnarray*}$

lösbar sind.

11.04.2007, 18:34

Toxman

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Nein, er meint, dass du mit einem unbekannten Vektor v=(a,b,c,d) ansetzen sollst. Dann rechnest du A*v und setzt das gleich v.
Dann hast du ein Gleichungssystem, dass etwa so aussieht:

-7a-1b+3c+4d=a (oder eben -a)
-6a usw
...
...
Wenn du daraus eine Lösung für a,b,c,d bauen kannst, hast du gezeigt, dass Av=v, also v EV zu EW 1.
Wenn du in deinem System rechts das =-a ansetzt (und in den Zeilen darunten immer =-b, =-c,... und auch das zu einer Lösung für a,b,c,d führt hast du einen Eigenvektor für EW=-1 gefunden haben.

11.04.2007, 18:40

Felipe

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alles klar! danke an Mazze und Toxman.. denke ich habs verstanden

Lehrer

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