Integrall in Intervall mit Definitionslücke bestimmen

19.11.2004, 22:27

Kaesekuchen86

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Integrall in Intervall mit Definitionslücke bestimmen

hallo, hab mal ne Frage zur Integralrechnung

Wenn ich die Funktion 1/x² im Intervall [-2; 2] integrieren will, dann ,müsste der Flächeninhalt doch unendlich werden oder????

Integral von -2 bis 2 von 1/x² dx = -1/x = -1/2 - 1/2 = -1

versteh ich aber nicht.

ich weiß nur, dass die Funktion für x=0 nicht definiert ist, und diese Stelle liegt ja im Intervall. Die Graphen streben also von links bzw rechts gegen unendlich bzw minus unendlich wenn sie sich der y-Achse nähern.

Hoffe ihr klönnt mir sagen wie ich verstehen kann, dass da minus 1 rauskommt. Danke

19.11.2004, 22:38

murray

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RE: Integrall in Intervall mit Definitionslücke bestimmen
Hmm, klingt nach:
von links und rechts annähern!
mit lim
mfg

19.11.2004, 22:48

Kaesekuchen86

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wie kann ich denn den limes von rechts bzw links bilden???

die erste Ableitung an der Stelle x=0 kann man doch gar nicht berechnen, da dem Punkt x=0 kein f(x) Wert zugeordnet werden kann

19.11.2004, 22:51

AD

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Deine Rechnung ist "etwas" leichtfertig - schau dir nochmal genau die Unstetikeitsstelle x=0 an! Da kann man nicht so einfach "rüberintegrieren".

Am besten, du versuchst mal, die Integrale von -2 bis -a, und von +a bis +2 für a mit 0<a<2 getrennt zu berechnen, und dann betrachte mal $\begin{eqnarray*} a\to 0 \end{eqnarray*}$ , dann siehst du hoffentlich den Effekt.

Ein Hinweis übrigens noch, als Kontrollmöglichkeit für ähnliche Fälle:
Wenn du eine positive Funktion wie 1/x^2 von a nach b integrierst (a<b), dann muss IMMER ein positiver Integralwert herauskommen - ansonsten sollten alle Alarmglocken schrillen!

19.11.2004, 22:57

murray

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RE: Integrall in Intervall mit Definitionslücke bestimmen
$\begin{eqnarray*} F(x)=\int_{}^{}~\frac{1}{x^2}~dx=-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Für die Grenzen -2 bis 2

$\begin{eqnarray*} A=\lim_{x \to 0^{-}}(F(x))-F(-2)+F(2)-\lim_{x \to 0^{+}}(F(x)) \end{eqnarray*}$
mfg

19.11.2004, 23:09

AD

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Noch eine Ergänzung betreffend (Riemann-)Integrale über endliche Intervalle [a,b]:

Ist F eine Integralfunktion einer Funktion f, dann gilt
$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$
genau dann, wenn F in [a,b] stetig ist.

Das gilt selbst dann, wenn f nicht überall in [a,b] stetig ist!

Im vorliegenden Fall verletzt die Integralfunktion F(x)=-1/x dieses Kriterium an der Stelle x=0, und 0 liegt dummerweise im Integrationsgebiet [-2,2].

EDIT: "Stammfunktion" durch "Integralfunktion" ersetzt.

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19.11.2004, 23:10

Kaesekuchen86

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die rechtsannäherung zu x=0 wäre dann

lim = 1/1/a = a
a->unendlich

und die Linksannäherung = -a

das würde ja auch Sinn machen wenn ich das richtig sehe
dann würde a nähmlich bei der Flächenberechnung a am Ende wegfallen und es käme 0 heraus oder????

das Ergebnis würde dann nämlich auch Sinn machen, da die Flächen links und rechts der y-achse gleich groß sind, wegen Punktsymmetrie zu (0|0)

Ach ja.... wie schreibt ihr eigentlich die Formeln?

20.11.2004, 10:03

Philipp-ER

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Deine Rechnung ist "etwas" leichtfertig - schau dir nochmal genau die Unstetikeitsstelle x=0 an! Da kann man nicht so einfach "rüberintegrieren".
...

Bei x=0 liegt keine Unstetigkeitsstelle, sondern eine Definitionslücke vor. Und dass das Integral einer Funktion über dem Intervall [a,b] nur erklärt werden kann, wenn die Funktion auf [a,b] definiert ist, sollte klar sein.

20.11.2004, 10:59

AD

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Zitat:

Original von Philipp-ER
Und dass das Integral einer Funktion über dem Intervall [a,b] nur erklärt werden kann, wenn die Funktion auf [a,b] definiert ist, sollte klar sein.

Vielleicht ist das in der Schulmathematik so. Im allgemeineren Sinn kann man durchaus auch Integrale von Funktionen berechnen, die an endlich oder sogar abzählbar vielen Stellen nicht definiert sind!

20.11.2004, 13:03

Philipp-ER

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Philipp-ER
Und dass das Integral einer Funktion über dem Intervall [a,b] nur erklärt werden kann, wenn die Funktion auf [a,b] definiert ist, sollte klar sein.

Vielleicht ist das in der Schulmathematik so. Im allgemeineren Sinn kann man durchaus auch Integrale von Funktionen berechnen, die an endlich oder sogar abzählbar vielen Stellen nicht definiert sind!

Verwechselst du nicht zufällig Unstetigkeitsstellen mit Definitionslücken?
Wenn nicht, wüsste ich mal gerne, wie deine Definition des R-Integrals aussieht.

20.11.2004, 13:14

AD

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Zitat:

Original von Philipp-ER
Verwechselst du nicht zufällig Unstetigkeitsstellen mit Definitionslücken?

Nein, ich verwechsle das nicht.

Nur mal zur Veranschaulichung: Es sei

$\begin{eqnarray*} f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{für}\; x<0\;\mbox{und}\; x>1\\1 & \mbox{für}\; 0<x<1\\ \mbox{undefiniert} & \mbox{für}\; x=0\;\mbox{und}\; x=1 \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} F(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{für}\; x\leq 0\\x & \mbox{für}\; 0<x\leq 1\\1 & \mbox{für}\; x>1\end{array} \right. \end{eqnarray*}$

eine Integralfunktion von f, unabhängig davon, wie man f an den Stellen 0 und 1 definiert - also kann man diese Festlegungen für x=0 und x=1 auch gleich lassen!

Geometrische Interpretation (bestimmtes Integral als Fläche):

Ob man nun an einzelnen Stellen Rechtecke der Dimension 0 x irgendwas
dazunimmt oder nicht - die Fläche ändert sich nicht.

Aber wie gesagt: Kann sein, dass man in der Schulmathematik solche undefinierten Stellen nicht zulässt. Aber wie du siehst, geht es durchaus allgemeiner. (Dabei spreche ich noch gar nicht von Lebesgue-Integralen, da sind noch ganz andere Sachen möglich.)

EDIT: "Stammfunktion" durch "Integralfunktion" ersetzt, Dank an Leopold.

20.11.2004, 13:58

Kaesekuchen86

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seh ich das denn jetzt richtig, dass dann für das Integral da 0 rauskommen müsste?

20.11.2004, 14:05

Philipp-ER

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Philipp-ER
Verwechselst du nicht zufällig Unstetigkeitsstellen mit Definitionslücken?

Nein, ich verwechsle das nicht.

Nur mal zur Veranschaulichung: Es sei

$\begin{eqnarray*} f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{für}\; x<0\;\mbox{und}\; x>1\\1 & \mbox{für}\; 0<x<1\\ \mbox{undefiniert} & \mbox{für}\; x=0\;\mbox{und}\; x=1 \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} F(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{für}\; x\leq 0\\x & \mbox{für}\; 0<x\leq 1\\1 & \mbox{für}\; x>1\end{array} \right. \end{eqnarray*}$

eine Stammfunktion von f, unabhängig davon, wie man f an den Stellen 0 und 1 definiert - also kann man diese Festlegungen für x=0 und x=1 auch gleich lassen!

Und was hat die Stammfunktion mit dem Integral zu tun? Ich würde gerne wissen, wie du das Integral der von dir definierten Funktion über zum Beispiel [-2,2] erklärst.
Ich beziehe mich auch nicht auf die Schulmathematik, sondern auf die mir bekannten Standardwerke der Analysis, die das Integral einer Funktion nur über Mengen definieren, auf denen die Funktion auch definiert ist.
So ist mit dem von dir definierten f der Ausdruck
$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^2 f(x)dx \end{eqnarray*}$ bei ihnen nicht definiert, jedoch definieren sie zum Beispiel
$\begin{eqnarray*} \int_{[-2,0)\cup (0,1)\cup (1,2]}f(x)dx \end{eqnarray*}$ , meinst du vielleicht das mit dem Integral einer Funktion über eine Menge, auf der die Funktion gar nicht durchgängig definiert ist?
Also formaler:
Sei f:X->Y mit $\begin{eqnarray*} X\subset\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} Y\subset\mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ , dann könnte man für $\begin{eqnarray*} M\subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ definieren:
$\begin{eqnarray*} \int_M f(x)dx:=\int_{M\cap X}f(x)dx \end{eqnarray*}$

20.11.2004, 14:09

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Zitat:

Original von Kaesekuchen86
seh ich das denn jetzt richtig, dass dann für das Integral da 0 rauskommen müsste?

Nein, das Resultat ist $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ , d.h., im eigentlichen Sinne ist f(x)=1/x² im Intervall [-2,2] nicht integrierbar (gleichgültig wie man f(0) auch festlegen möge - Wink

Wink

@Philipp-ER).

20.11.2004, 14:30

Leopold

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Nur mal zur Veranschaulichung: Es sei

$\begin{eqnarray*} f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{für}\; x<0\;\mbox{und}\; x>1\\1 & \mbox{für}\; 0<x<1\\ \mbox{undefiniert} & \mbox{für}\; x=0\;\mbox{und}\; x=1 \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} F(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{für}\; x\leq 0\\x & \mbox{für}\; 0<x\leq 1\\1 & \mbox{für}\; x>1\end{array} \right. \end{eqnarray*}$

eine Stammfunktion von f, unabhängig davon, wie man f an den Stellen 0 und 1 definiert - also kann man diese Festlegungen für x=0 und x=1 auch gleich lassen!

Dies stimmt nicht. $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist keine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Denn dazu müßte $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ an den Stellen 0 und 1 differenzierbar sein, und es müßte $\begin{eqnarray*} F'(0)=f(0) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} F'(1)=f(1) \end{eqnarray*}$ gelten. $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist aber nicht einmal differenzierbar bei 0 und 1.

Der Begriff Stammfunktion ist ein Begriff der Differentialrechnung, nicht der Integralrechnung. Der Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Integralfunktion, wie ihn der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung herstellt, gilt nur für stetiges $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

20.11.2004, 14:37

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Zitat:

Original von Philipp-ER
Und was hat die Stammfunktion mit dem Integral zu tun?

Das übliche - so ist in meinem Beispiel
$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^2~f(x)~dx = F(2)-F(-2)=1-0=1 \end{eqnarray*}$
und das für jede mögliche Festlegung von f(0) und f(1), alles im Sinne des gewöhnlichen Riemann-Integrals.

Richtig ist natürlich, dass man beim Riemann-Integral (im engeren Sinne) mit den Ober- und Untersummen alle Funktionswerte braucht. Ich wollte mit meinen Bemerkungen ja nur andeuten, dass bei zusätzlicher Festlegung von Funktionswerten an den undefinierten Stellen der Wert des dann berechenbaren Riemann-Integrals von diesen Festlegungen unabhängig ist.

Bezogen auf das Ursprungsbeispiel meine ich damit, dass man f(x)=1/x² nicht gleich als unintegrierbar verdammen sollte, bloß weil f(0) nicht definiert ist.

Zitat:

Original von Philipp-ER
Sei f:X->Y mit $\begin{eqnarray*} X\subset\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} Y\subset\mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ , dann könnte man für $\begin{eqnarray*} M\subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ definieren:
$\begin{eqnarray*} \int_M f(x)dx:=\int_{M\cap X}f(x)dx \end{eqnarray*}$

Also mit Riemann-Integralen über beliebige Teilmengen des R^n würde ich verdammt vorsichtig sein. Wenn dich das Thema interessiert, dann empfehle ich ein Studium der Grundlagen der Maß- und Integrationstheorie (z.B. H.Bauer: Maß- und Integrationstheorie, Verlag Walter de Gruyter).

20.11.2004, 14:48

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Zitat:

Original von Leopold
Dies stimmt nicht. $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist keine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Denn dazu müßte $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ an den Stellen 0 und 1 differenzierbar sein, und es müßte $\begin{eqnarray*} F'(0)=f(0) \end{eqnarray*}$

Du beziehst dich auf eine spezielle Eigenschaft der Stammfunktion F, die nur auf stetige Funktionen f anwendbar ist. Bei meinem Beispiel ist f aber nicht stetig - mehr noch: auch durch zusätzliche Festlegungen von f(0) und f(1) lässt sich f nicht stetig machen.

Riemann-Integrale und auch zugehörige Stammfunktionen sind aber nicht nur für stetige Funktionen f definiert!

Im allgemeineren Sinne ist eine zu f gehörige Stammfunktion F einfach dadurch definiert, dass
$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b~f(x)~dx = F(a)-F(b) \end{eqnarray*}$
für alle reellen Zahlen a,b gilt. Und das erfüllt das von mir angegebene F.

Edit (Ergänzung): Richtig ist, dass F'(x)=f(x) an den Stellen x gelten muss, wo f stetig ist. Und das kannst du an meinen f und F gern überprüfen.

20.11.2004, 14:52

Philipp-ER

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Philipp-ER
Und was hat die Stammfunktion mit dem Integral zu tun?

Das übliche - so ist in meinem Beispiel
$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^2~f(x)~dx = F(2)-F(-2)=1-0=1 \end{eqnarray*}$
und das für jede mögliche Festlegung von f(0) und f(1), alles im Sinne des gewöhnlichen Riemann-Integrals.

Richtig ist natürlich, dass man beim Riemann-Integral (im engeren Sinne) mit den Ober- und Untersummen alle Funktionswerte braucht. Ich wollte mit meinen Bemerkungen ja nur andeuten, dass bei zusätzlicher Festlegung von Funktionswerten an den undefinierten Stellen der Wert des dann berechenbaren Riemann-Integrals von diesen Festlegungen unabhängig ist.
...

Dafür mit Stammfunktionen zu argumentieren ist meiner Meinung nach zwar Unfug, aber gut, es ist richtig, dass das Integral einer R-integrierbaren Funktion auf einem Intervall sich nicht ändert, wenn endlich viele Funktionswerte ändert (bei abzählbar vielen stimmt das aber entgegen deiner Behauptung auf Seite 1 nicht) und damit kann man, wenn man möchte, auch ein Integral einer Funktion definieren, die in endlich vielen Punkten eines Intervalles nicht definiert ist, wenn denn eine beliebige Fortsetzung der Funktion auf das Intervall dort R-integrierbar ist, das sehe ich ein, ok.

20.11.2004, 14:58

Leopold

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@ Arthur Dent

Da will ich erneut widersprechen. Der Begriff Stammfunktion hat nur etwas mit Differenzierbarkeit, nicht mit Integrierbarkeit zu tun.

Eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist eine differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} F'=f \end{eqnarray*}$ . Dein $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist lediglich auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \setminus \{0,1\} \end{eqnarray*}$ differenzierbar, und dort natürlich auch eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (restringiert auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \setminus \{0,1\} \end{eqnarray*}$ ). $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist aber keine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

20.11.2004, 15:01

AD

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Zitat:

Original von Philipp-ER
(bei abzählbar vielen stimmt das aber entgegen deiner Behauptung auf Seite 1 nicht)

Hammer

Da gebe ich dir recht, bei Riemann-Integralen gibt es da Probleme.

Da bin ich wohl gedanklich schon bei den Lebesgue-Integralen gewesen, dort stimmt diese Aussage.

20.11.2004, 15:08

AD

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Zitat:

Original von Leopold
Da will ich erneut widersprechen. Der Begriff Stammfunktion hat nur etwas mit Differenzierbarkeit, nicht mit Integrierbarkeit zu tun.

Ok - einigen wir uns darauf:
Es gibt Stammfunktionen im engeren Sinn, so wie du sie siehst (und vermutlich der Einfachheit wegen die gesamte Schulmathematik).

Und dann gibt es noch Stammfunktionen im weiteren Sinn, so wie ich sie beschrieben habe.

Jede Stammfunktion im engeren Sinn ist auch eine Stammfunktion im weiteren Sinn, aber nicht umgekehrt.

Für die Berechnung von bestimmten Integralen gemäß F(b)-F(A) sind beide geeignet, wobei allerdings bei nichtstetigen f gar keine Stammfunktionen im engeren Sinn existieren und somit die Integralbestimmung auf diesem Wege nicht möglich ist.

Jetzt zufrieden?

P.S.: Mein Beispiel stellte Dichte- und Verteilungsfunktion einer im Intervall [0,1] gleichverteilten Zufallsgröße dar. Wenn man sich in der Stochastik auf solche Stammfunktionen im engeren Sinn beschränken würde, dann käme man an allen Ecken und Enden nicht weiter!

20.11.2004, 15:19

Leopold

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Nein, ich bin nicht zufrieden.
Natürlich kann jeder Mathematiker eigenständig neue Begriffe definieren. Er sollte sie dann aber nicht nach gängigen Begriffen benennen. Und was du als Stammfunktion im weiteren Sinne bezeichnest, ist eben keine Stammfunktion im üblichen Sinne - und das hat mit Schulmathematik gar nichts, aber auch rein gar nichts zu tun!

Vielleicht sollte man die Stammfunktion im weiteren Sinne daher einfach Dent-Stammfunktion nennen.

20.11.2004, 15:33

AD

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Zitat:

[i] Vielleicht sollte man die Stammfunktion im weiteren Sinne daher einfach Dent-Stammfunktion nennen.

Zuviel der Ehre, außerdem ist das nicht mein richtiger Name (lies mal Douglas Adams).

Ich gebe dir hiermit recht - das was ich meine ist laut
http://de.wikipedia.org/wiki/Stammfunktion
die Integralfunktion. Ich hab das begrifflich nie so unterschieden, da mir die "Stammfunktion" mit dieser starken Differenzierbarkeitsforderung in der Stochastik bei vielen Beispielen wenig nützt.

(Mich interessieren immer mehr die Inhalte, nicht die Begriffe. Möglicherweise ein Fehler von mir, es hat trotzdem zur Promotion gereicht.)

20.11.2004, 22:54

Kaesekuchen86

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Kaesekuchen86
seh ich das denn jetzt richtig, dass dann für das Integral da 0 rauskommen müsste?

Nein, das Resultat ist $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ , d.h., im eigentlichen Sinne ist f(x)=1/x² im Intervall [-2,2] nicht integrierbar (gleichgültig wie man f(0) auch festlegen möge - Wink

Wink

@Philipp-ER).

ah jetzt kapier ichs ;D

Danke

1

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