Noch ne Taylorreihe diesesmal Hardcore ;)

11.04.2007, 19:20

SilverBullet

Noch ne Taylorreihe diesesmal Hardcore ;)

So da das mit der ersten Taylorreihe ja so halbwegs gut geklappt hat bin ich jetzt mal gespannt ob hier jemand eine schlaue Idee hat.

Aufgabe : Taylorreihe bis zur 6ten Ordnung $\begin{eqnarray*} \frac 1 {cos(x)} \end{eqnarray*}$ im Entwicklungspunkt x = 0 bestimmen.

Soo ich hab zwar was probiert aber das sieht extrem chaotisch aus.
Die ersten 2 Ableitungen passen zwar noch aber dann werden die äußerst lang sogar zu lang wie ich finde. Ich kann mir einfach nicht vorstellen das wir nen ganzes A4 Blatt voll mit einer Taylorreihe vollschreiben müssen.

Hat jemand eine Idee ?

Als Tipp steht : wir sollen $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac 1 {1-q(x)} \text{ mit } q(x) = 1 - cos(x) \end{eqnarray*}$ als geometrische Reihe betrachten.
Kann damit aber leider absolut nix anfangen und unser Üleiter konnte damit auch nix anfangen unglücklich

Also wenn jemand hier ne Idee hat wäre das KLASSE ! Augenzwinkern

Gruß
Marc

11.04.2007, 19:28

sqrt4

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wenn $\begin{eqnarray*} |q(x)|<1 \end{eqnarray*}$ dann ist doch $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} [1-cos(x)]^k \end{eqnarray*}$ . Kenn mich aber mit dem Thema nicht aus... aber vllt hilfts ja trotzdem.

Edit:
Allerdings ist $\begin{eqnarray*} |q(x)| \end{eqnarray*}$ nicht immer kleiner 1

11.04.2007, 19:28

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{\infty} q^i = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

11.04.2007, 19:33

SilverBullet

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Also die Umformung sqrt4 find ich schonmal interessant aber da wie er schon sagt cos nicht immer kleiner 1 ist bzw. sein Betrag klappt das ganze doch nicht oder ?

@Lazarus : Ja das ist die geometrische Reihe, und wie soll ich nun mein q darin einsetzen ?

11.04.2007, 19:48

SilverBullet

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Habe hier : Link

was gefunden aber das sieht sehr kompliziert aus und ich kann es einfach nicht nachvollziehen unglücklich

EDIT :Hab oben noch den Entwicklungspunkt dazugeschrieben smile

11.04.2007, 21:16

sqrt4

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Heißt das mit "6. Ordnung" , dass man bei x^6 abbricht?

11.04.2007, 21:20

SilverBullet

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Japp also man bildet die Taylorreihe mit Hilfe der ersten 6 Ableitungen der Funktion

11.04.2007, 21:44

sqrt4

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Jetzt hab ichs glaub ich kapiert.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{k=0} ^{\infty} [1-cos(x)]^k \end{eqnarray*}$

Das leitet man ab. Dazu betrache ich mal eine Summanden
$\begin{eqnarray*} ([1-cos(x)]^k)' =k \cdot [1-cos(x)]^{k-1}\cdot sin(x) \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=\sum_{k=1}^{\infty} k\cdot [1-cos(x)]^{k-1}\cdot sin(x) \end{eqnarray*}$

Was ist also $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ ?
Es ist 1-cos(0)=0
also $\begin{eqnarray*} k\cdot [1-cos(0)]^{k-1}\cdot sin(x)=0 \end{eqnarray*}$ für alle k, außer für $\begin{eqnarray*} k =1 \end{eqnarray*}$

Dann is es nämlich (ich weiß da kann man streiten ^^)
$\begin{eqnarray*} [1-cos(0)]^0\cdot sin(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$
Und somit $\begin{eqnarray*} f'(0)=sin(0)=0 \end{eqnarray*}$

Edit: arghh hunderttausend fehler drin.. hoffentlich stimmt jetzt langsam alles.
Edit 2: Das war natürlich nur der Anfang!

11.04.2007, 21:54

therisen

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Hallo,

Zitat:

Original von SilverBullet
Habe hier : Link

was gefunden aber das sieht sehr kompliziert aus und ich kann es einfach nicht nachvollziehen unglücklich

da steht doch schon die komplette Lösung. Was verstehst du denn dabei nicht? Das ist doch gut erklärt.

Gruß, therisen

11.04.2007, 22:14

SilverBullet

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Also bei dem Link verstehe ich eigentlich absolut garnichts. Die seltsammen Summen mit e1 usw.. und eigentlich sogar die Rechnung weil ich da garnicht durchschaue was er damit überhaupt bezweckt ?!

@sqrt4 :

Und das muss ich nun für die 6 Ableitungen machen ?

Dann wäre doch $\begin{eqnarray*} f''(x) = k^2 [1-cos(x)]^{k-2} \cdot sin(x)^2 + k[1-cos(x)]^{k-1} \cdot cos(x) \end{eqnarray*}$

Aber f''(0) ist doch wieder 0 oder nicht ?

11.04.2007, 22:30

sqrt4

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Also ich hab eher so was

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\sum_{k=1} ^{\infty} [k(k-1)[1-cos(x)]^{k-2}sin(x)^2+k[1-cos(x)]^{k-1}cos(x)] \end{eqnarray*}$

Für x=0 fällt wohl wieder ziemlich viel weg, aber ob das der richtige Weg ist? Das is schon sehr aufwendig! verwirrt

(bis zur 6. Ableitung !)

11.04.2007, 22:33

SilverBullet

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Ja darauf wollte ich hinaus Augenzwinkern

Also die Aufgabe wird wohl nix mehr ich probier mich morgen mal schlau zu machen und poste mein Ergebnis.

Hab da nämlich noch nen Aufgabe die zumindest leichter aussieht dann hätte ich zumindest ein paar Punkte bei der Übung.

11.04.2007, 22:35

sqrt4

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$\begin{eqnarray*} sin(x)^2=1-cos(x)^2=(1-cos(x))(1+cos(x)) \end{eqnarray*}$ hilft vllt beim zusammenfassen.

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\sum_{k=1}^{\infty} k\cdot [1-cos(x)]^{k-1}[(k-1)(1+cos(x))+cos(x))] \end{eqnarray*}$

Es fällt alles weg bis auf den Summanden, wenn k=1. (immer unter der Bed, dass x=0 !)

Es bleibt also übrig

$\begin{eqnarray*} f''(0)=cos(0)=1 \end{eqnarray*}$

12.04.2007, 00:04

therisen

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Also man sollte schon den Tipp verwenden Augenzwinkern

Folgende 3 Überlegungen sind essentiell für den Beweis:

In einer hinreichend kleinen Umgebung für x gilt $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{\cos x} = \sum_{k=0}^\infty (1-\cos x)^k =: \sum_{k=0}^\infty q(x)^k \end{eqnarray*}$ Für die Koeffizienten in unserer Taylorreihe interessieren wir uns für die n-te Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ an der Stelle 0 (dazu werden wir also die geometrische Reihe gliedweise differenzieren und abschließend $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ einsetzen).
Es gilt $\begin{eqnarray*} (f_1\cdots f_n)^{(m)} = \sum_{k_1\dots, k_n\in\mathbb N_0 \atop{k_1+\dots+k_n=m} } \frac{m!}{k_1!\cdots k_n!} f_1^{(k_1)}\cdots f_n^{(k_n)} \end{eqnarray*}$ (den Fall $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ findest du auf meiner Homepage bewiesen)
Für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} q^{(n)}(0) = \begin{cases} (-1)^{\frac{n}{2}+1}, & \text{falls } n\equiv 0\pmod 2\\0, & \text{falls } n\equiv 1\pmod 2\end{cases} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q^{(0)}(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Im vierten und letzten Schritt wendet man die Feststellungen aus (1) bis (3) an und beachtet $\begin{eqnarray*} q(x)^k=q(x)\cdots q(x) \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

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