Beweis per Induktion

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maxxchen Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis per Induktion
Hi,

kann mir jemand einen Ansatz für den Beweis von per vollständiger Induktion sagen, komm einfach nicht drauf.
gast Auf diesen Beitrag antworten »

*grins, gehört das in die höhere Mathematik?

...an der Formel stimmt was nicht, denn so wie die Summe dort steht ist
ein Summand. Dieser Wert ist aber nicht definiert. Hast du dich vertippt?
maxxchen Auf diesen Beitrag antworten »

nein, ich habe mich nicht vertippt...
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Definiert sind beide Ausdrücke schon, nur stimmen die Induktionsanfänge nicht überein, werder für i:=0, noch für i:=1...

Und, ohne Induktionsanfang keinen Induktionsbeweis...
gast Auf diesen Beitrag antworten »

nein, der binomialkoeffizient ist eine natürliche zahl und für n=0 und k>0 ist das nicht der fall...das ist zwar Haarspalterei aber Mathematik *g wahrscheinlich hast du vergessen hinzuschreiben das k<=n richtig?

also wie funktioniert Induktion?
(1) Korrektheit der Aussage an einem Beispiel zeigen
(2) Aussage als korrekt voraussetzen
(3) Korrektheit der Aussage für n+1 zeigen

mit anderen Worten du setzt n+1 in die formel ein:


so jetzt guckst du dir ein paar rechenregeln für summenzeichen und binomialkoeffizienten an und formst die sache solane um bis die Aussage rauskomm. q.e.d.
:-)
gast Auf diesen Beitrag antworten »

das k+2 muss natürlich ein k+1 sein, wäre nett wenn das jmd ändert. danke
 
 
gast Auf diesen Beitrag antworten »

und noch ein hinweis :
aus den oben genannten gründen kannst du voraussetzten das k=0 sein muss. also versuch erst gar nich ein induktionsanfang mit k>0 zu finden.
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo gast,

ich habe die von dir gewünschte Änderung vorgenommen.
Wenn du dich anmeldest kannst du selbst deine eigenen Beiträge editieren. Wie wär's?
Und bitte versuch solche Doppel- und Mehrfachposts zu vermeiden.

Gruß
Anirahtak
maxxchen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wahrscheinlich hast du vergessen hinzuschreiben das k<=n richtig?


hab ich auch nicht vergessen, die Aufgabe wurde so gestellt, ohne irgendwelche weiteren Vorgaben. Ich werds mal versuchen und meine Lösung posten.
maxxchen Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung
So, so sieht das jetzt bei mir aus:

zu Beweisen:

Induktionsanfang: für n=0, k=0;
- gilt.
Behauptung:


Beweis:
Glied (n-1) + (n+1) + (n)


Jetzt hab ich eingesetzt:









Stimmt das jetzt? Hat jemand vielleicht eine knappere Fassung oder Lösung?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also: Dein Induktionsanfang ist "falsch" bzw. du hast die Formel jetzt nur für k=0 bewiesen! Bzw. ich weiß gar nich so richtig, was du da gemacht hast:

Zitat:

Wie kommst du darauf? Der Rest is auch n bißchen wirr ...

Is ja auch egal. Erstmal zu ner Definition: Der Binomialkoeffzient ist definiert durch



Sei k>n, also n-k<0, und . Dann ist x natürlich und . Außerdem , also ist einer der Faktoren =0 und somit der ganze Zähler und der Binomialkoeffizient =0!!

Und jetzt kannst du ganz einfach die beweisen, dass

.

Für i=0 bis i=k-1 ist nämlich das ganze, wie eben gezeigt, =0!
Du kannst die Summe deshalb auch anders schreiben, wenn du willst:

.

Den Induktionsanfang bekommst du also für n=k. Den Schritt bekommst du mit der Voraussetzung und der Formel

.

Ich hoffe, das hilft.
maxxchen Auf diesen Beitrag antworten »

Was dein Zitiertes betrifft:

Ich habe die Summe einfach aufgeteilt indem ich das (n-1)te Glied der Summe, das (n+1)te Glied der Summe und das (n)te Glied der Summe addiere. Danach hab ich die Definition für den Binomialkoeffizient eigesetzt (wie du sie auch angegeben hast). Das sollte eigentlich stimmen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von maxxchen
Ich habe die Summe einfach aufgeteilt indem ich das (n-1)te Glied der Summe, das (n+1)te Glied der Summe und das (n)te Glied der Summe addiere.


Is aber umständlich. Einfacher ist es doch, in die Summe von k=0 bis n + das (n+1). Glied aufzuspalten. Du hast eigentlich einen Induktionsschritt von n-1 auf n+1 gemacht, is aber sehr unüblich und bringt auch nicht den kompletten Beweis!
maxxchen Auf diesen Beitrag antworten »

So dann sieht das jetzt so aus:
Induktionsvoraussetzung (schon umgeschrieben):


Induktionsanfang für n=k:


Induktionsschritt:
-Zu zeigen:

-Beweis:
einsetzen der Definition, wie ichs oben schon gemacht habe


Ist jetzt etwas gekürzt, aber ist ja nur Verständnisabfrage Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dem Induktionsschritt musst du noch zwei Schritte vorher machen. Du musst ja schon noch die Voraussetzung einsetzen, das hast du schon gemacht, du musst es aber auch hinschreiben ...



Du kannst das jetzt natürlich explizit ausrechnen ab hier, aber eigentlich sollte die Formel schon bekannt sein:



Damit wäre es dann einfacher ...
maxxchen Auf diesen Beitrag antworten »

..wenn ich das einfach so schreiben kann (dann wird mir wieder gesagt, ich muss es erst beweisen Augenzwinkern ) dann ist ja gut.

Danke für die Hilfe.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, du musst das vorher schon beweisen, ich dachte nur, das wäre schon passiert. Das sollte eigentlich noch aus der Schule bekannt sein ...
maxxchen Auf diesen Beitrag antworten »

pff Schule... da wurden uns eh ganz andere Sachen beigebracht Augenzwinkern Ich werds mal noch beweisen, habe aber in diesem Fall die Definition eigesetzt um den Beweis zu umgehen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie Beweis umgehen? Du beweist es doch grad erst mit den Definition, was hat das mit umgehen zu tun?
maxxchen Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube wir reden aneinander vorbei... hab deinen einen Post falsch verstanden. Hab mich mit den zwei Schritten vor dem Induktionsschritt "verlesen", die Schritte und die Def. sind klar.
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