Konvergenz der Potenzreihe

11.04.2007, 22:45

SilverBullet

Konvergenz der Potenzreihe

Aufgabe :
Zeige :

Es sei $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Die Potenzreihe :

$\begin{eqnarray*} f_a(x) := \sum_{n=0}^\infty~\binom \alpha n x^n \end{eqnarray*}$

konvergiert für -1<x<1.

Ok hab den Binomialkoeffizienten als $\begin{eqnarray*} \frac {\alpha!}{n! (\alpha - n)!} \end{eqnarray*}$ geschrieben und dann das Quotientenkriterium angewendet :

$\begin{eqnarray*} \frac {\frac {\alpha! x^{(n+1)}}{(n+1)! (\alpha - n - 1 )!}}{\frac {\alpha!x^n}{(n)! (\alpha - n)!} } \end{eqnarray*}$

Aber das hat irgendwie garnicht geklappt unglücklich

Gibts nen leichten Weg ? Gibt nur 1 Punkt für die Aufgabe also müsste es eigentlich leicht klappen ?!

11.04.2007, 22:48

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Der Ansatz ist richtig. Führe den doch mal fort. Kürze so viel es geht beim Doppelbruch. Da lässt sich einiges kürzen

Übrigens ist der Binomialkoeffizient für eine reelle Zahl Alpha nicht über die Fakultät definiert!

11.04.2007, 22:57

SilverBullet

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Zitat:

Übrigens ist der Binomialkoeffizient für eine reelle Zahl Alpha nicht über die Fakultät definiert!

Und trotzdem ist der Ansatz oben richtig ?

11.04.2007, 23:01

therisen

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Nein, du musst mit $\begin{eqnarray*} {\alpha\choose n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} \end{eqnarray*}$ arbeiten. Übrigens: Die Musterlösung findest du auf meiner Homepage Augenzwinkern

Gruß, therisen

11.04.2007, 23:02

SilverBullet

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Nachdem ich den Bruch gekürzt habe (obwohl das Alpha ja aus R ist?!)

erhalte ich :

$\begin{eqnarray*} \frac {x(a-n)}{n+1} \end{eqnarray*}$

Aber wieso sollte das denn für -1<x<1 konvergieren ?

Edit : Echt ? Dann schau ich doch da glatt nochmal vorbei smile

11.04.2007, 23:04

therisen

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Zitat:

Original von SilverBullet
Nachdem ich den Bruch gekürzt habe (obwohl das Alpha ja aus R ist?!)

erhalte ich :

$\begin{eqnarray*} \frac {x(a-n)}{n+1} \end{eqnarray*}$

Aber wieso sollte das denn für -1<x<1 konvergieren ?

Weil $\begin{eqnarray*} \left|\frac {x(\alpha-n)}{n+1}\right|\to |x| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

11.04.2007, 23:04

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Naja, gegen was geht denn dieser Term? Was folgt dann letztlich daraus?

EDIT: Doppelt hält besser. Augenzwinkern

11.04.2007, 23:14

SilverBullet

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Achja stimmt smile

Aber ok da es falsch ist bzw. für Alpha nicht so definiert probier ich es mal damit :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} {\alpha\choose n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n) x^{n+1}}{(n+1)!}} {\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1) x^{n}}{n!}} \end{eqnarray*}$

Hab ich n+1 im Zähler richtig eingesetzt ?

Dann erhalte ich nach dem Kürzen :

$\begin{eqnarray*} \frac {x (\alpha - n)}{(n+1)} \end{eqnarray*}$

so und dann wie eben smile

11.04.2007, 23:36

SilverBullet

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Ok das war doch schonmal nen Anfang zumindest stimmte mein Ansatz fast *g*

Aufgabenteil b gibts auch noch Augenzwinkern

Wenn also noch jemand Lust hat `?

B)
Zeige :

Für -1 < x < 1 gilt :

$\begin{eqnarray*} f'_\alpha (x) = \alpha f_{\alpha -1} (x) \end{eqnarray*}$

Öhhhhhhhh ja also meine Einzige Idee ist zu probieren,

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

abzuleiten.

Und wenn ich das richtig sehe ergibt das doch :
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)x^{n-1}}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

Aber $\begin{eqnarray*} \alpha f_{\alpha -1}(x) =\alpha \cdot \frac {(\alpha -1)\cdots (\alpha -n) x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

und die sehen irgendwie nicht gleich aus oder stimmt was nicht ?

12.04.2007, 00:19

therisen

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Pass auf die Indizes auf. Benutze

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \right)' = \sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1} x^n \end{eqnarray*}$ (x ist innerhalb des Konvergenzradius)

Damit klappt's.

Gruß, therisen

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