zyklische Untergruppe.

20.11.2004, 15:29	DonSeth	Auf diesen Beitrag antworten »
zyklische Untergruppe. Hallo zusammen. Ich habe ein problem, ich soll zeigen, dass jede Untergruppe einer Zyklischen Gruppe wieder zyklisch ist. Wenn wir eine Untergruppe haben, gelten schonmal alle Operationen aus unserer gruppe, soviel ist mir klar. Mein problem ist eigentlich zu beweisen, dass jede Untergruppe einer zyklischen gruppe wieder ein erzeugenddes Element besitzt, denn die Untergruppen müssen ja nicht das erzeugende Element selbst wieder enthalten oder? Ich bitte um Rat und danke im Voraus.
20.11.2004, 15:44	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht ist das ja eine nette Veräppelung und es gibt garkeine echten Untergruppen dieser zyklischen Gruppe. (Also nur die Gruppe selbst und {e}). Die zyklische Gruppe wird von einem Element erzeugt. Das Erzeugnis ist die kleinste Gruppe, die das Element enthält. Nimmst du also ein Element aus der Gruppe weg, so hast du keine Gruppe mehr. Ein weiterer Gedanke von mir ist, dass die Gruppe von allen Elementen der Gruppe erzeugt wird (bis auf e). Das sind nur unsortierte Gedanken, helfen dir aber vielleicht trotzdem weiter.
20.11.2004, 15:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn eine Untergruppe einer zyklischen Gruppe G ein erzeugendes Element der Gruppe enthält, dann muß diese Untergruppe mit G selbst übereinstimmen. Wenn die Gruppe G von a erzeugt wird und U eine Untergruppe von G ist, so muß U von derjenigen Potenz von a, die minimalen Exponenten besitzt, erzeugt werden. Du mußt also nachweisen, daß alle Elemente von U Potenzen jener Potenz sind. EDIT: Beispiel: zyklische Gruppe der Ordnung 6 $\begin{eqnarray} G = \{1,a,a^2,a^3,a^4,a^5\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_0 = \{1\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_1 = G = \{1,a,a^2,a^3,a^4,a^5\} \end{eqnarray}$ Soweit die trivialen Untergruppen. $\begin{eqnarray} U_2 = \{1,a^2,a^4\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_3 = \{1,a^3\} \end{eqnarray}$
20.11.2004, 16:06	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Tobias hat absolut recht : Da die Gruppe von jedem Element erzeugt wird, kann man keine Teilmenge Angeben die abgeschlossen ist. Also bleiben nur die Gruppe selbst und {e} als Lösung. Der Beweisansatz ist anzunehmen das eine echte zyklische Untergruppe existiert die nicht {e} ist. Diese Annahme widerlegst du dann ganz einfach mit der obigen Eigenschaft qed :-)
20.11.2004, 16:11	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
ups, das was ich gesagt habe gilt nur für Zyklische Gruppen von Primzahlordnung, also siehe Leopold
20.11.2004, 16:52	DonSeth	Auf diesen Beitrag antworten »
@Leopold: Erstmal danke, mein Problem jedoch ist, ich kann doch jetzt nicht tausende Beispiele ddurchgehen um zu zeigen, das die Untergruppen einer zyklischen Gruppe wieder zyklisch sind, Irgendwie scheine ich entweder total auf dem Schlau zu stehen oder blind zu sein. Wenn ich jetzt eine Gruppe habe mit: $\begin{eqnarray} G={1,a,a^2,a^3,...,a^k-1} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} k\in \mathbb N \end{eqnarray}$ Dann sind: $\begin{eqnarray} U_0={1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_1=G \end{eqnarray}$ trivial. Jetzt kann ich natürlich alle möglichen Untergruppen aufzählen und sitze noch in 3 Wochen hier. Bis ich irgendwann genug Beispiele habe. Genauso könnte ich auf der anderen Seite Teilmengen bilden und zeigen das sie keine Gruppen sind. Mir fehlt irgend wie der Ansatz, wie ich das für eine beliebige zyklische Gruppe beweisen soll.
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20.11.2004, 17:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sei $\begin{eqnarray} G = \left\langle a \right\rangle = \{ 1,a,a^2,...,a^{n-1} \} \end{eqnarray}$ die von einem Element $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ erzeugte zyklische Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray} n>1 \end{eqnarray}$ , und es sei $\begin{eqnarray} U \neq \{ 1 \} \end{eqnarray}$ Untergruppe von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . Dann bestimmen wir $\begin{eqnarray} m\; , \ 0<m<n, \end{eqnarray}$ minimal mit $\begin{eqnarray} a^m \in U \end{eqnarray}$ . Die Inklusion $\begin{eqnarray} \left\langle a^m \right\rangle \subseteq U \end{eqnarray}$ ist dann trivial. Zum Beweis der umgekehrten Inklusion nehmen wir ein $\begin{eqnarray} u=a^k \in U \end{eqnarray}$ . Nach dem Divisionsalgorithmus gibt es dann nichtnegative ganze Zahlen $\begin{eqnarray} r,s \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k=mr+s \; , \ 0 \leq s<m \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ Untergruppe ist, folgt aus $\begin{eqnarray} u = a^k = a^{mr} \cdot a^s = (a^m)^r \cdot a^s \end{eqnarray}$ die Beziehung $\begin{eqnarray} a^s \in U \end{eqnarray}$ . Wegen der Minimalität von $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ kann das nur für $\begin{eqnarray} s=0 \end{eqnarray}$ gehen. Also ist $\begin{eqnarray} u = (a^m)^r \end{eqnarray}$ Dies zeigt: $\begin{eqnarray} U \subseteq \left\langle a^m \right\rangle \end{eqnarray}$
20.11.2004, 18:30	DonSeth	Auf diesen Beitrag antworten »
Kopf auf den Tisch haut Danke! ich hätte ddieses We weniger saufen sollen, dann wär ich auch nicht soo dämlich gewesen.

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