Ungleichung mit Primzahlen

12.04.2007, 01:06	ICE2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit Primzahlen Hallo, hoffe ihr könnt mir zu so später Stunde noch helfen. Und zwar verstehe ich folgende Ungleichung in einem Beweis von Euler nicht: $\begin{eqnarray} \sum_{q\leq x}~\frac{1}{q} \leq \prod_{p\leq x}(1+\frac{1}{p}) \end{eqnarray}$ mit q quadratfrei und p = Primzahl. Gruß ICE2
12.04.2007, 02:04	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehst dus anschaulich nicht oder bekommst du den Beweis nicht hin ? Falls letzteres zutrifft, trägt evtl. auch eine Hilfestellung zu ersterem zur Lösung des Problems bei. Nehmen wir mal ein Beispiel $\begin{eqnarray} x=6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{q\leqslant 6}~\frac{1}{q} &=&1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{36}{30}=\frac{2\cdot 3 \cdot 11}{2\cdot 3 \cdot 5}<\frac{2 \cdot 3 \cdot 12}{2\cdot 3 \cdot 5} =\frac{2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4}{2\cdot 3 \cdot 5} \\&=&\frac{3\cdot 4 \cdot 6}{2\cdot 3 \cdot 5}=\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} =\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot \left(1+\frac{1}{5}\right) =\prod_{p\leqslant 6}~\left(1+\frac{1}{p}\right) \end{eqnarray}$ Alternativ könnte man auch von hinten kommen und nach unten abschätzen.. Alles klar wies ungefähr abläuft ?
12.04.2007, 11:37	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde den Beweis (oder sagen wir "Begründung") von der anderen Seite aufziehen: Man multipliziere einfach mal gedanklich das Produkt $\begin{eqnarray} \prod_{p\leq x} \left( 1+\frac{1}{p} \right) \end{eqnarray}$ aus, was steht dann da? Nun, genau die Summe $\begin{eqnarray} \sum_n \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ über jene $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , deren Primfaktorenzerlegung nur Primfaktoren $\begin{eqnarray} \leq x \end{eqnarray}$ enthält, und zudem jeden enthaltenen Primfaktor nur in Potenz 1 (also quadratfrei). Damit hat man bereits alle quadratfreien Zahlen $\begin{eqnarray} \leq x \end{eqnarray}$ erfasst, und darüber hinaus noch ein paar mehr. Durch das Weglassen der Reziproke letzterer $\begin{eqnarray} n>x \end{eqnarray}$ aus der Summe entsteht dann die Ungleichung.
12.04.2007, 17:42	ICE2	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch beiden! Jetzt hab ich es verstanden. ICE2

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