Konvergenz von Folge berechnen...

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20.11.2004, 16:55	Stardust	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Folge berechnen... Hallo, ich soll die Konvergenz von folgender Folge berechnen: $\begin{eqnarray} a(n)= \frac{135...(2n-1)}{369..3n} \end{eqnarray}$ jetzt hatte ich mir überlegt, dass man das ja auch fo darstellen kann: $\begin{eqnarray} a(n)= \frac{\prod_{k=1}^n~(2k-1)}{\prod_{k=1}^n~3k} \end{eqnarray}$ nur hab ich keine ahnung, wie man das anders darstellen kann. zB weiß ich bei $\begin{eqnarray} a(n)=\sum_{k=0}^n~(k) \end{eqnarray}$ ist das n/2(n+1) könnt mir da vielleicht jemand weiterhelfen?
20.11.2004, 17:22	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Folge berechnen... Meinst du mit "Konvergenz berechnen", dass du zeigen sollst, dass $\begin{eqnarray} lim_{n\rightarrow\infty}a(n) \end{eqnarray}$ existiert? Wenn ja, dann kannst du das mit dem Quotientenkriterium schnell nachweisen. Sagt dir das was? Sollst du den Grenzwert auch noch bestimmen?
20.11.2004, 17:24	Stardust	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau. und den grenzwert soll ich auch noch bestimmen. aber ich habe keine ahnung was das quotientenkriterium ist.
20.11.2004, 17:32	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, ich sehe gerade, dass ich mir nicht mehr sicher bin, ob das Quotientenkriterium bei Folgen auch anwendbar ist (habe versehentlich im Kapitel "unendliche Reihen" nachgeschlagen). Wäre nett, wenn das jemand bestätigen/widerlegen könnte, damit ich es das nächste mal weiß Muß jetzt nochmal über das Problem nachdenken. Sorry.
20.11.2004, 17:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Quotientenkriterium ist ein Reihenkriterium. Hier kannst du folgendermaßen umformen (wie, das solltest du dir selbst überlegen): $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^n~\frac{2k-1}{3k} = \frac{1}{6^n}{2n \choose n} \end{eqnarray}$ Und wenn man nun die Regel $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^m~{m \choose k} = 2^m \end{eqnarray}$ bedenkt, dann kann man den Binomialkoeffizienten geeignet abschätzen. EDIT: Gerade fällt es mir wie Schuppen aus den Haaren. Es geht noch viel einfacher: Schätze jeden Faktor im Zähler nach oben durch die nächste ganze Zahl ab und kürze den entstehenden Bruch.
20.11.2004, 18:02	Stardust	Auf diesen Beitrag antworten »
ohoh, von binomialkoeffizienten habe ich nicht so viel ahnung, aber ich werde mal gucken, was ich daraus machen kann. danke an euch beiden!
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20.11.2004, 18:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe meinen vorigen Beitrag ergänzt. Lies noch einmal.
20.11.2004, 18:04	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, hier mal eine Idee. Muß aber weder die eleganteste, noch die beste sein Die Existenz des Grenzwertes ist übrigens sehr einfach nachzuweisen. Dass jedes Folgenglied positiv ist, ist offensichtlich. Damit ist 0 eine untere Schranke der Folge. Des weiteren kannst du mit $\begin{eqnarray} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray}$ zeigen, dass die Folge streng monoton fallend ist. Somit hast du eine fallende Folge, die nach unten beschränkt ist. Diese hat auf jeden Fall einen Grenzwert. Des weiteren gilt $\begin{eqnarray} a(n)=\frac{\prod_{k=1}^n (2k-1)}{\prod_{k=1}^n 3k} = \prod_{k=1}^n \frac{2k-1}{3k} \end{eqnarray}$ . Dieses Produkt kannst du nach oben abschätzen. D.h. du suchst eine Folge $\begin{eqnarray} b_n\geq a_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} lim_{n\rightarrow \infty}b_n = 0 \end{eqnarray}$ Das entspricht auch dem, was Leopold in seinem letzten Satz noch geschrieben hat. @Leopold Weißt du, wie es mit dem Quotientenkriterium bei Folgen aussieht? Gilt das da auch? Oder nur bei Reihen? Habe auf die Schnelle nichts weiter gefunden.
20.11.2004, 18:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Quotientenkriterium bei Folgen ist mir nicht bekannt (was aber nicht heißen soll, daß es nicht etwas Analoges gibt).
20.11.2004, 18:13	Stardust	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm, ihr scheint euch ja schon mal einig zu sein. g ich weiß nur nicht wie ich das verstehen soll mit dem abschätzen. heißt das jetzt, ich soll anstatt 1357.... die nächst höhere ganze zahl wäre dann ja 2468*.... oder hab ich das falsch verstanden?? da wäre dann 2k/3k, also letztendlich (2/3)^n und der grenzwert davon ist null?
20.11.2004, 18:16	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau das ist gemeint. Für alle natürlichen Zahlen n gilt 0 < a(n) <= (2/3)^n. Und da (2/3)^n gegen 0 konvergiert, muß auch a(n) gegen 0 konvergieren.
20.11.2004, 18:19	Stardust	Auf diesen Beitrag antworten »
jaaa *freu is ja cool jetzt muss ich also vorher nur noch zeigen, dass sie monoton fallend ist, ja? ich hoffe, dass schaffe ich wenigstens. genial!!! vielen vielen dank!
20.11.2004, 18:35	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das mußt du nicht. Das war von mir nur eine Zusatzüberlegung zum besseren Verständnis bzw. zum Nachweis, dass der Grenzwert überhaupt existiert. Dadurch, dass du mit (2/3)^n eine konvergente Majorante (so heißt der Fachausdruck ) gefunden hast, mußt du die Vorüberlegung nicht (mehr) machen.
21.11.2004, 12:44	Stardust	Auf diesen Beitrag antworten »
ups, na ja .. egal... ich habe das jetzt auch noch dazu geschrieben. macht ja nix. lieber zu viel als zu wenig. g

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