12 Kugeln [gelöst]

Neue Frage »

asphys Auf diesen Beitrag antworten »
12 Kugeln [gelöst]
Man hat zwölf kugeln. Sie wiegen alle gleich aber nur eine ist schwerer oder leichter. Man darf sie nur dreimal wiegen wie findet man raus welche kugel das ist und ob sie leichter oder schwerer ist.

kleiner tipp: dieses rätsel gab es schonmal nur diesmal hat es noch einen kleinen haken :P
vor einem jahr hab ich 2 tage gebraucht um es zu lösen und 2 professoren denen es mal gestellt wurde haben 1stunde gebraucht mal sehen ob ihr das toppen könnt Augenzwinkern

P.S. wie kriegt man das rein ín wichtig?
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist ein ähnliches Rätsel, nur darf man vier mal wiegen:

http://de.web-z.net/~mathe/thread.php?threadid=908

In wichtig wird das von den Moderatoren gemacht Augenzwinkern
 
 
deHoeninger Auf diesen Beitrag antworten »

Also das Rätzel hat mal Spaß gemacht.

Ist aber bestimmt nicht die sauberste Lösung sie gefällt mir eigendlich nicht aber es geht.

Vorraussetzung, man weiß zu jeder Zeit welche Kugel sich wo befindet. Ist aber Erfüllt.

Man mache 3 Haufen a 4 Kugeln.

1. Wiegen

A und B

Ergebnis: 2 Fälle 1. Fall A=B 2. Fall A<B oder A>B

Für den 1. Fall

2. Wiegen

Man teilt Haufen C ( in dem ja offensichtlich die falsche Kugel ist) in zwei Haufen a 2 Kugeln.
Legt einen Haufen zur Seite und nimmt zwei Richtige Kugeln mit dennen man dann den anderen Haufen vergleicht.

Ergebnis: Entweder wiegen Sie gleichviel, somit ist die flasche kugel im zurückgelegten Haufen, oder Sie unterscheiden sich und die flasche Kugel ist im gewogenen Haufen. Als Ergebnis bleibt also ein 2er Haufen übrig in dem die falsche Kugel steckt.

3. Wiegen

Man nimmt eine der 2 Kugeln aus dem falschen Haufen und vergleicht sie mit einer Richtigen Kugel. Wiegen Sie gleich viel ist die andere Kugel die Falsche, ansonsten ist es die Gewogene.

Somit wäre man am Ziel.

Für den 2. Fall

2. Wiegen

Man macht 3 Haufen. auf jeden dieser Haufen legt man jeweils 2 Kugeln aus den 3 einzelnen 4er Haufen. Beim Wiegen ist nun ein der 2 Haufen leichter oder schwerer. Da man aber weiß welcher Haufen aus dem 1. Wiegen dementsprechend schwerer oder leicht war, kann man somit das 2er Pärchen an Kugeln identifizieren indem die Flaschen Kugel ist. Diese 2 Kugeln nimmt man dann.

Beispiel:
richtige Kugel wiegt 10 , falsche Kugel wiegt 9

1. Wiegen

Haufen 1.A (40)
>
Haufen 1.B (39)
????
Haufen 1.C(40)

2. Wiegen

Haufen 2.A: (20) (19) (20)
<
Haufen 2.B: (20) (20) (20)

Da man weiß das Haufen 1.B leichter war als Haufen 1.A, und nun Haufen 2.A leicht er ist als Haufen 2.B muss sich die falsche und offensichtlich leichtere Kugel in Haufen 2.A befinden und mit Rücksicht aufs erste Wiegen, eine der Zwei Kugeln aus dem Haufen 1.B sein. Da man sich gemerkt hat welche dies sind. Bekommt man als Ergebnis die 2 Kugeln mit einem Gewicht von (19).


3. Wiegen

Man nimmt eine der 2 Kugeln aus dem falschen Haufen und vergleicht sie mit einer Richtigen Kugel. Wiegen Sie gleich viel ist die andere Kugel die Falsche, ansonsten ist es die Gewogene.

Somit wäre man auch am Ziel. Oder ist irgendwo nen Fehler drinne ??
jama Auf diesen Beitrag antworten »

hi deHoeninger!

1. fall ist klar!

aber zum 2. fall...
Zitat:
Man macht 3 Haufen. auf jeden dieser Haufen legt man jeweils 2 Kugeln aus den 3 einzelnen 4er Haufen. Beim Wiegen ist nun ein der 2 Haufen leichter oder schwerer. Da man aber weiß welcher Haufen aus dem 1. Wiegen dementsprechend schwerer oder leicht war, kann man somit das 2er Pärchen an Kugeln identifizieren indem die Flaschen Kugel ist. Diese 2 Kugeln nimmt man dann.

3 haufen? 8 kugeln hast du gewogen. wie willst du daraus 3 haufen machen? und zu welchem zweck. 3 haufen hast du doch anfangs schon.

was ich gemacht hätte:
von einem gewogenen haufen 2 kugeln entfernen, aus dem anderen gewogenen haufen 2 kugeln auf die andere seite legen und die lücke mit 2 kugeln aus dem dritten haufen schließen.

1. fall: beide haufen wiegen jetzt gleich viel -> die 2 kugeln, die wir entfernt haben, bergen das schwarze schaaf. das weitere vorgehen hast du richtig geschildert.

2. fall: die waage kippt um -> das kugelpaar, das umgelagert wurde, muss also genauer untersucht werden.

3. fall: die waage verändert sich im vergleich zur ersten position nicht -> 4 kugeln (2 auf jeder seite) wurden nicht geändert. eine der 4 ist die gesuchte kugel. an dieser stelle müsste das 4. wiegen erlaubt sein.... verwirrt
asphys Auf diesen Beitrag antworten »

hehe tja na wie schon vorher gesagt der ist sehr schwer! sogar für matheprofs(profis!) :P

also noch ein tip: benennt vielleicht mal alle kugeln z.B. mit A1,A2 etc...
@jama immer mit viererpacks erstmal rechnen mit 2 ist zu lang
jama Auf diesen Beitrag antworten »

klar, das erste wiegen habe ich von deHoeninger übernommen Augenzwinkern und die beschreibung des ersten falls ist bei ihm ja auch richtig.

ich hab erst hier angesetzt:

Zitat:
Für den 2. Fall

2. Wiegen
asphys Auf diesen Beitrag antworten »

ja das erste wiegen muss ja auch richtig sein aber sonst leider ziemlich falsch

ok noch ein tip: das zweite wiegen muss mit 6 Bällen gemacht werden also 3 gegen 3
fragt sich nur welche :P am besten erstmal siehe oben den kugeln namen geben also A1-A4,B1-B4,C1-C4
jetzt müsste es eigentlich ziemlich einfach sein
deHoeninger Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, den 2. Fall habe ich glaube etwas falsch beschrieben.

Also mein Gedanke nochmal.

Nach dem ersten wiegen wissen wir nur das die ersten beiden Haufen sich im gewicht unterscheiden und welcher der beiden größer/kleiner ist.


H1.1 H1.2 H1.3
(A1 A2 A3 A4) <> (B1 B2 B3 B4) ??? (C1 C2 C3 C4) << ungewogen.


Nun macht man 2 Haufen.

H2.1 H2.2

(A1 A2) (A3 A4)
(B1 B2) (B3 B4)
(C1 C2) (C3 C4)

Nun ist einer der beiden Haufen schwerer/leichter als der andere.

Als Beispiel: A2 ist die falsche Kugel und sie ist leichter.

In diesem Fall würde der linke Haufen(H2.1) leichter sein als H2.2 und wir wissen das H1.1 leichter war als H1.2.

Daher muss das leichtere Element, unsere offensichtlich falsche Kugel im H1.1 Haufen, sowie im H2.1 Haufen gewesen sein.

Also bleiben 2 Kugeln übrig (A1 A2), die man dann im dritten Schritt wie im ersten Fall wiegen kann.

Also ich habe das eigendlich mehrmal durchgerechnet und hab keinen Fehler gefunden.

Jan
deHoeninger Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm Nu war ich doch was skeptisch, und muss sagen das meine Vorgehensweise falsch ist.... Big Laugh

Aber ich probiere es weiter...

jan
asphys Auf diesen Beitrag antworten »

es geht trotzdem besser wenn du mit 3kugeln gegen 3 rechnest :P
mit zwei gegen 2 kommst du nämlich nie auf nur 3* wiegen
ich kann mich auch vertun aber dessen bin ich mir ziemlich sicher
es gibt übrigens gleich drei mögliche lösungen und meines wissens funktionieren die alle mit 3 gegen 3
auch wenn ich jetzt nur eine konkrete lösung kenne
martins1 Auf diesen Beitrag antworten »

Man teilt die Kugeld in 3 Haufen à 4 Kugeln: L1-4, S1-4 u. N1-4

1. Wiegen:
(L1, L2, L3, L4) gegen (S1, S2, S3, S4)

Nehmen wir o.B.d.A. an, dass (L1-4) leichter ist als (S1-4). Der Fall, dass sie gleich schwer sind, wurde schon behandelt. Dann ist entweder eine Kugel aus L1-4 zu leicht oder eine Kugel aus S1-4 zu schwer.

2. Wiegen:
Man legt die Kugeln L3, L4 u. S4 zur Seite und wiegt:
(L1, S1, N1) gegen (L2, S2, S3)

Fall A: Sie sind gleich schwer. Dann muss die "falsche Kugel" L3, L4 od. S4 sein.

3a. Wiegen:
(L3) gegen (L4)
Sind sie gleich schwer, so ist S4 die gesuchte Kugel und ist schwerer als die anderen, sonst ist es die leichtere der beiden.

Fall B: (L1, S1, N1) ist leichter. Dann ist entweder L1 die leichtere oder S2 oder S3 die schwerere. Man fahre wie in Fall A fort. (S2 gegen S3 wiegen)

Fall C: (L2, S2, S3) ist leichter. Dann ist entweder L2 die leichte oder S1 die schwere Kugel.

3c. Wiegen:
(L2) gegen (N1)
Ist L2 leichter, ist L2 die gesuchte Kugel, sonst ist es S1.
asphys Auf diesen Beitrag antworten »

ja endlich 8) richtige lösung! wenn ihr wollt könnt ihr ja auch noch die anderen 3 lösungen suchen aber ich glaub ihr habt wahrscheinlich genug von diesem Rätsel :P
Calabi-Yau Auf diesen Beitrag antworten »
...und das ganze bitte nochmal mit zwei mal wiegen
nachdem das Rätsel ja erfolgreich gelöst wurde (is ja schon ein paar Tage her), würde ich gerne die Grundidee nochmal auffassen und Euch das ganze mit zweimal Wiegen veruschen lassen.

Wünsche viel Spass dabei!
redrum Auf diesen Beitrag antworten »
zu Fall 1...
Also nochmal zu Fall 1.:
Seien die ersten 8 gewogenen Kugeln (4 gegen 4) im Gleichgewicht, so hat man 4 Kugeln übrig: C1-4
Wie beschrieben legt man einen Haufen zurück (2 Kugeln) und wiegt 2 Kugeln von C (meinetwegen C1-2) gegen A1-2. Für den Fall das jetzt Gleichgewicht herrscht, darf man ja nur noch einmal wiegen.
Entweder man wiegt A1 gegen C3 oder C4, oder man wiegt A1-2 gegen C3-4, was einem ja nichts bringt, außer das man weiß, ob die gesuchte Kugel leichter oder schwerer ist. Aber so wie das beschrieben wurde, wiegt man ja nur A1 gegen C3 (als beispiel) und bei Gleichgewicht wäre C4 die gesuchte Kugel. Das ist ja schön und richtig, aber die Aufgabe heißt doch auch: zeige ob die kugel leichter oder schwerer ist. Was wär denn C4 in diesem Fall? Leichter oder schwerer?


mfg redrum
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zu Fall 1...
Nö der Fall liegt anders:
In der zweiten Wiegung wiegst Du nicht zwei, sondern drei aus der Gruppe C im Vergleich mit Gruppe A. Bei Gleichgewicht ist C4 die verbleibende und kann in der 3. Wiegung verifiziert werden.
Bei Ungleichgewicht, weißt Du ob leichter oder schwerer und kannst einfach C1 und C2 gegeneinander beim 3.Mal wiegen. Gleichgewicht es ist C3 ungleichgewicht: die jeweilige Kugel C1 oder C2 die sich genauso verhält wie alle drei zusammen ist es.

Alles klar?

Mit zweimal geht nicht, da nicht genügend Informationen in 2 Wägungen über 12 Kugeln gewonnen werden können.

Gruß, Jan
Renevinc Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habs auch mal versucht und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:

Man teilt die Kugeln in drei Gruppen zu je 4 Kugeln auf. (Gruppe A, B, und C)

Man wiegt Gruppe A und B.

Sind diese Gleich schwer ist die leichtere/ schwerere in Gruppe C, logisch.
Von den vier Kugeln aus Gruppe C wiegt man nun zwei, nennen wir sie 1 und 2.
Sind diese gleichschwer, wiegt man Kugel 1 und 3.
Sind diese gleichschwer ist Kugel 4 die Gesuchte.
Sind 1 und 3 unterschiedlich ist es Nummer 3.
Sind 1 und 2 aber unterschiedlich schwer wiegt man einfach im dritten Wiegen Kugel 1 und 3.
Sind sie gleichschwer ist es Kugel 4, sind sie unterschiedlich ist es Kugel 1.

Nun aber zu dem Fall, dass Gruppe A und B unterschiedlich schwer sind.
Wir gehen mal davon aus, dass A leichter ist als B.
In A sollen die Kugeln 5,6,7 und 8 heißen, in B heißen sie 9,10,11 und 12.
Jetzt nimmt man Kugel 5,6 und 9 in die linke Waagschale und Kugel 7,8 und 10 in die rechte.
Sind diese gleichschwer ist die gesuchte Kugel entweder Nummer 8 oder Nummer 12.
Man wiegt einfach Kugel 8 mit einer normalen und schaut ob sie gleichschwer ist.
Ist dies so, dann ist Nummer 12 die Gesuchte.
Ist dies nicht so ist es Nummer 8.

Sind die Dreier-Pakete (5,6,9 und 7,8,10)
nicht gleich schwer gibt es zwei Möglichkeiten:
1.) Links ist leichter
oder
2.) Rechts ist leichter

Tritt 1.) ein, so kann das nur daran liegen, dass Kugel 5 oder 6 leichter sind oder dass Kugel 10 schwerer ist.
Man wiegt Kugel 5 und 6. Sind sie gleich ist Kugel 10 die Gesuchte, sind sie unterschiedlich, ist die Leichtere die Gesuchte.

Tritt 2.) ein, so kann das nur daran liegen, dass entweder Kugel 7 oder 8 leichter sind oder dass Kugel 9 schwerer ist. Man wiegt Kugel 7 und 8. Das Ergebnis sieht man ja wenige Zeilen oberhalb....
simoni12 Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit 12 Kugeln ist dieses Rätsel einfach zu lösen.

Es geht auch mit 15!!!!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von simoni12
Also mit 12 Kugeln ist dieses Rätsel einfach zu lösen.

Es geht auch mit 15!!!!

dann bitte kläre und hier auf.....

aber spamme nicht das ganze board damit zu, ja?
Bastomat Auf diesen Beitrag antworten »
Fall 1
Servus,

Euer Fall 1 ist auch noch nicht richtig. Angenommen man legt immer die "falsche" Kugel beiseite, woher soll ich dann wissen, ob sie schwerer oder leichter ist als die anderen?
Aber wer Fall 2 verstanden hat, kommt auch schnell auf die Lösung für dieses Problem.
eyedee-media Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort
Also: 4 3er Gruppen (A,B,C,D), 1. Wiegen: Ich wiege Gruppe A und B, beide sind gleich, also muss die Kugel in C oder D sein.

2. Wiegen: Ich wiege Gruppe C mit A. Beide sind wieder gleich, also muss die Kugel in Gruppe D sein.

3. Wiegen: Ich wiege zwei Kugeln der Gruppe D. Beide sind gleich. Es ist die übriggebliebene Kugel.
planki Auf diesen Beitrag antworten »
12 Kugeln
Schon beim 1. Fall ist ein Fehler:
Ich nenne die Kugeln: 123456789ABC
1. Wiegen: links: 1234, rechts 5678: beide gleich
Es ist richtig, dass dann in 9ABC die falsche Kugel ist
Wenn ich nun wie oben angegeben ein 2. mal wiege: links: 9A, rechts: 12(1 und 2 sicher richtig),
dann ist, wenn 9A gleich viel wiegt wie 12, in BC die falsche Kugel
und wenn ich dann B mit 1 vergleiche (3. Wiegen) und die wieder gleich schwer sind, kann ich wohl sagen, dass C die falsche Kugel ist, aber ich weiß nicht, ob sie schwerer oder leichter ist, weil sie ja noch nie auf der Waage gelegen ist. Um das festzustellen muss ich ein viertes mal wiegen!
Sealender Auf diesen Beitrag antworten »
naja
eine frage zur definition wiegen...
1x wiegen bedeutet für mich nicht grp 1 UND grp 2 wiegen,
sondern grp1 ODER grp 2 zu wiegen. (bei unterteilung in 3 grp a 4 Bälle)
Klärt mich bitte auf wenn ich falsch liege...
Somit ergibt sich für mich nur die Lösung (geht nur mit 5x wiegen)
Summe aus allen Kugeln ermitteln, 1.x wiegen.
:12 ergibt "falsches Gewicht" einer Kugel, durch umformen rückschluss zum
richtigen Gewicht einer Kugel möglich.
Dann den Haufen durch 2 teilen,
6 Kugeln wiegen, 2.x wiegen.
Daraus kann man schliessen ob die Kugel in grp A od grp B ist.
3 Kugeln wiegen, 3.x wiegen.
Dann noch aus der grp in der sich die "Kugel" befinden muss wiegen,
4.x und 5.x wiegen= 100% die richtige Kugel.

Das ist die einzige logische Erklärung die mir zu diesen Rätsel einfällt...
bitte um Aufklärung!!
fixfinder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zu Fall 1...
Zwölf-Kugel-Rätsel.

Man hat 12 gleich aussehende Kugeln. Es ist bekannt, dass eine Kugel entweder leichter oder schwerer als die anderen ist. Man bestimme mit Hilfe von drei Wiegungen, welche Kugel das ist und ob diese Kugel leichter oder schwerer als die anderen ist.

Lösung.

Man teile die Gruppe G aus 12 Kugeln in drei Gruppen G1, G2, G3 jeweils mit 4 Kugeln. Wir bezeichnen P(G) das Gewicht der Gruppe G Eine normale Kugel werden wir mit X bezeichnen und ihr Gewicht mit x. Es sei Y die Sonderkugel (die sich von allen anderen nach dem Gewicht unterscheidet). Sei y das Gewicht der Sonderkugel. Also, es gilt: P(G) = 11x + y.

Wiegung 1. Man wählt zwei Gruppen beliebig aus diesen drei. Seien diese G1 und G2. Man wiegt diese Gruppen G1 und G2 ab. Gilt P(G1) = P(G2), dann befindet sich die Sonderkugel in der Gruppe G3 und es ist eine leichte Aufgabe, mit zwei Wiegungen zu bestimmen, welche Kugel aus den vier in der Gruppe G3 befindlichen Kugeln die Sonderkugelkugel ist und ob die Sonderkugel leichter ist als die anderen.

Wir können deswegen annehmen, dass die Gruppen G1 und G2 unterschiedliche Gewichte haben. Wir bezeichnen G1 die leichteste Gruppe von den beiden (wenn notwendig, ändern wir die Bezeichnungen von den beiden ursprünglichen Gruppen). Also, es gilt P(G1) < P(G2).
Bezeichnen wir auch die Kugel von den beiden Gruppen mit K1,…, K8, so dass gilt:

G1 = { K1, K2, K3, K4 }
G2 = { K5, K6, K7, K8 }

Die dritte Gruppe besteht dann aus vier normalen Kugeln:

G3 = {X, X, X, X }

Wir bilden weitere zwei Gruppen, indem wir die zwei beliebigen Elemente von G1 und ein beliebiges Element der Gruppe G2 in eine neue Gruppe H1 einsetzen, und in die zweite Gruppe H2 tragen wir die restlichen zwei Elemente der Gruppe G2 und ein von den restlichen Elementen der Gruppe G2 ein:

H1 = { K1, K2, K5 }
H2 = { K3, K4, K6 }

(Wir bezeichnen die Elemente der Gruppe H1 in blauer Farbe und diese der Gruppe H2 in roter Farbe)

Wiegung 2. Wir wiegen die Gruppen H1 und H2 ab. Sind diese gleichgewichtig, d.h. gilt P(H1)=P(H2), ist die Sonderkugel eine den restlichen Kugel K7 oder K8 und es wird eine Wiegung offensichtlich reichen, um zu bestimmen, welche davon die Sonderkugel ist und ob die Sonderkugel leichter oder schwerer ist, als die anderen. Und zwar, wir müssen nicht die Kugel K7 und K8 miteinander vergleichen, sondern eine davon (K7 oder K8) mit einer beliebigen Kugel aus der Gruppe G3 (diese alle sind normale Kugel), sonst reicht die dritte Wiegung nicht aus, um zu bestimmen, ob die Sonderkugel leichter oder schwerer ist als die anderen.

Wir können deswegen annehmen, dass die Gruppen H1 und H2 nicht gleichgewichtig sind. Wir bezeichnen H1 die leichteste von den beiden Gruppen (wenn notwendig, bezeichnen wir die bestehenden Gruppen H1 und H2 um). D.h. es gilt P(H1) < P(H2).

Da die Sonderkugel einer der Gruppe H1 oder H2 gehört, sind die Kugel K7 und K8 die normale Kugel. Deswegen gilt:

G1 = { K1, K2, K3, K4 }
G2 = { K5, K6, X, X }
G3 = { X, X, X, X }

Es gibt zwei Möglichkeiten: die Sonderkugel Y gehört zur Gruppe G1 oder G2. Für jeden diesen Fall kann die Sonderkugel Y entweder zur Gruppe H1 oder zur Gruppe H2 gehören. D.h. es können folgende Möglichkeiten auftreten:

1. Sonderkugel Y liegt in G1 und in H1
2. Sonderkugel Y liegt in G2 und in H2
3. Sonderkugel Y liegt in G1 und in H2
4. Sonderkugel Y liegt in G2 und in H1

Wir beweisen, dass die Fälle 3 und 4 unmöglich sind.
Zum Fall 3:
Liegt die Sonderkugel Y in G1 und in H2, dann ist die Sonderkugel entweder K3 oder K4. Dann sind die anderen Kugel die normale Kugel, so dass gilt: K1=K2=K5=K6=X. Somit gilt:

G1 = { X, X, K3, K4 }
G2 = { X, X, X, X }
H1 = { X, X, X }
H2= { K3, K4, X }

wobei eine der Kugel K3 oder K4 die Sonderkugel ist und die andere nicht. In diesem Fall gelten für Gewichte von den Gruppen:

P(G1) = 3x + y, P(G2)= 4x
P(H1) = 3x, P(H2) =2x + y

Aus der Ungleichheit P(G1)<P(G2) folgt 3x + y < 4x oder y < x.
Aus der Ungleichheit P(H1)<P(H2) folgt 3x < 2x + y oder x < y.
Beide Ungleichheiten widersprechen zueinander. Dieser Widerspruch zeigt, dass der Fall 3 unmöglich ist.

Analog wird bewiesen, dass der Fall 4 auch unmöglich ist. Obwohl der Beweis in diesem Fall wirklich analog durchzuführen ist, führen wir den Beweis trotzdem durch.

Zum Fall 4:
Liegt die Sonderkugel Y in G2 und in H1, dann ist die Sonderkugel unbedingt K5. Dann sind die anderen Kugel die normale Kugel, so dass gilt: K1=K2=K3=K4=K6=X. Somit gilt:

G1 = { X, X, X, X }
G2 = { Y, X, X, X }
H1 = { X, X, Y }
H2= { X, X, X }

In diesem Fall gilt für Gewichte von Gruppen folgendes:

P(G1) = 4x, P(G2)= 3x+y
P(H1) = 2x+y, P(H2) =3x

Aus der Ungleichheit P(G1)<P(G2) folgt 4x < 3x + y oder x < y.
Aus der Ungleichheit P(H1)<P(H2) folgt 2x + y < 3x oder y < x.
Beide Ungleichheiten widersprechen zueinander auch in diesem Fall. Dieser Widerspruch zeigt, dass der Fall 4 auch unmöglich ist.

Also, bleiben nur die Fälle 1 und 2.

Fall 1: Sonderkugel Y liegt in G1 und in H1. Da es gilt

G1 = { K1, K2, K3, K4 }
G2 = { K5, K6, X, X }
H1 = { K1, K2, K5 }
H2 = { K3, K4, K6 },

soll die Sonderkugel entweder K1 oder K2 sein. Alle anderen Kugel sind normale Kugel, d.h. K3=K4=K5=K6=X. Deswegen gilt:

G1 = { K1, K2, X, X }
G2 = { X, X, X, X }
H1 = { K1, K2, X }
H2 = { X, X, X }

In diesem Fall gilt für Gewichte von Gruppen:

P(G1) = 3x+y, P(G2)= 4x
P(H1) = 2x+y, P(H2) =3x

Aus den beiden Ungleichheiten P(G1)<P(G2) und P(H1)<P(H2) folgt y < x, d.h. die Sonderkugel ist in diesem Fall leichter als die anderen Kugeln.

Fall 2: Sonderkugel Y liegt in G2 und in H2. Da es gilt
G1 = { K1, K2, K3, K4 }
G2 = { K5, K6, X, X }
H1 = { K1, K2, K5 }
H2 = { K3, K4, K6 },
stimmt die Sonderkugel unbedingt mit der Kugel K6 überein und die anderen Kugeln sind die normalen Kugeln, d.h. K1=K2=K3=K4=K5=X, K6=Y, so dass gelten:
G1 = { X, X, X, X }
G2 = { X, Y, X, X }
H1 = { X, X, X }
H2 = { X, X, Y }

In diesem Fall gilt für Gewichte von Gruppen:

P(G1) = 4x, P(G2)= 3x + y
P(H1) = 3x, P(H2) =2x+y

Aus den beiden Ungleichheiten P(G1)<P(G2) und P(H1)<P(H2) folgt x < y, d.h. die Sonderkugel ist in diesem Fall schwerer als die anderen Kugeln.

Wiegung 3. Wir wiegen die zwei Kugeln aus dem Schnitt von G1 und H1 ab (Kugel K1 und K2). Sind diese gleichgewichtig, haben wir unbedingt den Fall 2, d. h. die Sonderkugel Y ist die einzige Kugel, die im Schnitt von G2 und H2 liegt. Da in diesem Fall x < y, wissen wir auch, dass die gefundene Sonderkugel schwerer ist, als die anderen.

Sind diese Kugel unterschiedlich nach dem Gewicht, haben wir den Fall 1. Da in diesem Fall gilt: y < x, ist die Sonderkugel immer die leichteste von den beiden Kugeln, und die dritte Wiegung bestimmt dann die Sonderkugel als die leichteste von den beiden Kugeln.

Das beendet die Lösung.
leetnami Auf diesen Beitrag antworten »

ihr vergesst glaube ich einen ganz wichtigen aspekt.

ihr beschreibt fall 1 als leicht erklärt.
die aufgabe lautet nicht: "findet die flasche kugel" sondern "welche ist die falsche kugel UND ist sie leichter oder schwerer"

ich weise euch kurz darauf hin in fall 1)

3. wiegen:

ich weiss, die kugel ist in haufen C, indem die 4 verbliebenen sind.

Ich wiege 2 richtige mit 2 aus haufen C und sehe sie sind im gleichgewicht.
die falsche kugel befindet sich in den beiden anderen aus C

C3 und C4 - eine davon ist die falsche.
wiegt man beide gegeneinander schlägt die waage aus, doch es klärt nicht welche von den beiden die falsche ist: die leichtere oder die schwerere??

C3 wird gegen eine richtige gewogen.
-->schlägt hier die waage aus ist der fall klar!

C3 geht runter - schwerer
C3 geht hoch - leichter

DOCH: was, wenn die waage bei C3 gegen richtige im gleichgewicht bleibt?

3X gewogen, ich weiss C4 ist die falsche ... aber ist sie nun schwerer oder leichter?

somit ist das rätsel durch 3x wiegen nicht lösbar, es bleibt am ende eine 50% zu 50% prozentige chance die falsche kugel mit dem leichteren oder schwereren gewicht zu erraten !

danke für die aufmerksamkeit

leetnami
nikorama Auf diesen Beitrag antworten »

Guter Einwand, und es geht doch indem man mit 3 Kugeln fortsetzt:

Zur Erinnerung: Bisher wurde einmal gewogen, die gesuchte Kugel befindet sich in der Gruppe c1,c2,c3,c4

2. Wiegung c1,c2---c3,x
Ergebnis A: Waage ist im Gleichgewicht, dann ist c4 der Kandidat
Ergebnis B: links geht runter (analog zu rechts geht runter, siehe unten)
Ergebnis C: rechts geht runter, daraus folgt:
# c3 ist schwer
# ODER
# c1 oder c2 ist leicht
# 3. Wiegung c1---c2
# a) Gleichgewicht, dann ist c3 schwer
# b) eine der Kugeln c1 oder c2 ist leicht

Damit ist die Lösung dann wirklich abgeschlossen, vorausgesetzt alle nicht immer trivialen Vorberlegungen waren einwandfrei.
Ion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zur Erinnerung: Bisher wurde einmal gewogen, die gesuchte Kugel befindet sich in der Gruppe c1,c2,c3,c4


Ja was ist aber wenn sich die gesuchte Kugel nicht in der Gruppe c befindet?
Also wenn die gesuchte Kugel in Gruppe a oder b ist? was dann?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ion
Ja was ist aber wenn sich die gesuchte Kugel nicht in der Gruppe c befindet?
Also wenn die gesuchte Kugel in Gruppe a oder b ist? was dann?


Dann greift die langatmige, aber korrekte Lösung von fixfinder
Lg
kgV
Wink
kailien Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zu Fall 1...
"Wiegung 2. Wir wiegen die Gruppen H1 und H2 ab. Sind diese gleichgewichtig, d.h. gilt P(H1)=P(H2), ist die Sonderkugel eine den restlichen Kugel K7 oder K8 und es wird eine Wiegung offensichtlich reichen, um zu bestimmen, welche davon die Sonderkugel ist und ob die Sonderkugel leichter oder schwerer ist, als die anderen. Und zwar, wir müssen nicht die Kugel K7 und K8 miteinander vergleichen, sondern eine davon (K7 oder K8) mit einer beliebigen Kugel aus der Gruppe G3 (diese alle sind normale Kugel), sonst reicht die dritte Wiegung nicht aus, um zu bestimmen, ob die Sonderkugel leichter oder schwerer ist als die anderen."

bei der 3. wiegung kommt man doch auch nicht hin oder?

Sagen wir K7 = x dann wüssten wir nicht ob K8 < x oder K8 > x

oder bin ich jetzt vollends verwirrt ?_?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zu Fall 1...
Du vergliechst hier mit normalen Kugeln. Wenn K7 leichter ist, wird die normale Kugel aufsteigen, ansonsten sinkt die Waagschale mit dieser Kugel. Wenn sie im Gleichgewicht ist, dann ist die gesuchte Kugel K8 und mit ihr wird gleich wie oben verfahren
Lg
kailien Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zu Fall 1...
Wenn K7 = X ist kann man aber die Messung mit K8 nicht mehr durchführen, weil man dann schon 3 mal gewogen hat.

Der Letzte Schritt ist nämlich doch K7 gegen K8 abwiegen! =) Geht z.B. K7 auf der Wage runter ist K7 die gesuchte schwere Kugel, da wir vorher gesagt haben, dass P(G2) > P(G1). Das Selbe gilt dann für K8. Sollte diese schwerer sein ist K8 die gesuchte, schwere Kugel.

LG
Knax Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt noch ne ganz andere Lösung...
Ich kenn das Rätsel schon etwas länger, und als es mir zuerst gestellt wurde, dacht ich an eine Lösung, bei der bestimmte Kugeln mit der Waage verglichen werden, und aus den 3 Ergebnissen der Wägungen sich die richtige Kugel, und ob "leichter oder schwerer" ergibt.
Ich kam damit nicht so schnell weiter, und habe dann auch nach einer Lösung, wie hier im Forum gesucht, und auch gefunden.
Sobald man auf die Idee kommt, bereits ausgeschiedene (richtige) Kugeln wieder einzusetzen, ist die Lösung meines Erachtens nicht mehr so schwierig.

Einige Zeit später ließ es mir keine Ruhe, und ich hab mir das Alles noch mal angesehen, und dann festgestellt, dass es tatsächlich auch Lösungen gibt, bei denen man 3 Wägungen mit jeweils 4 gegen 4 Kugeln vornimmt, und anhand der Ergebnisse (z.B. 1. links leichter 2. Gleichstand 3. links schwerer) die richtige Kugel ermitteln lässt, und ob sie schwerer oder leichter ist.
Falls überhaupt noch jemand Interesse an dem alten Thread hier hat, kann ich das ja mal posten.

Aufbohren lässt sich das Rätsel übrigens bei 3 Wägungen auf max. 13 Kugeln. Wenn allerdings Kugel 13 die gesuchte ist, kann man nicht mehr sagen, ob schwerer oder leichter. Zur Lösung geht man wie gewohnt vor, lässt die 13. Kugel aber einfach komplett ausser Acht. Wenn man zu keinem Ergebnis komm, ist die gesuchte Kugel die Kugel 13, man weiss allerdings nichts über das Gewicht :-)
labernet Auf diesen Beitrag antworten »

viel schneller :

1. mal wiegen:
6gegen6
die schweren 6 herausnehmen
2mal wiegen:
die schwereren 6 in 2 x3 aufteilen und 3gegen3 wiegen
3mal wiegen:
die schwereren 3 in 3 einzelne aufteilen und 2 davon wiegen eine so behalten, wenn die gewogenen kugel gleich schwer sind ist die, welche man behalten hat die schwerere, ansonsten zeigt die Wage die schwerere an


2 Möglichkeit:
Kugel in 3mal 4 aufteilen
4v4 wiegen die anderen 4 heraushalten, wenn gleichschwer die herausgehaltenen beinhalten die schwerere, wenn nicht die wage zeigt an
2mal wiegen:
die schweren 4 in 2x2 aufteilen und wiegen, die schwereren 2 erneut (3mal)aufteilen und wieder wiegen.


3 Möglichkeit,
Kugeln in 3x4 aufteilen
3gegen3 wiegen die restlichen 6 Kugel herauslassen,
wenn gleich schwer die restlichen Kugeln enthalten die schwerere wenn nicht die ersten 6.wenn die ersten 6 dann gleich schritt 3.

Dann erneutes Aufteilen der restlichen 6 in 3x3, wieder(2. wiegen) wiegen, das schwerer Ergebnis (Kugeln) erneut in jeweils 3 einzelne aufteilen und 2 davon wiegen, in 1x1, die schwerer ist entweder mit der Wage zu finden oder sind beide gewogenen Kugeln gleich schwer ist die ungewogene die schwerere
labernet Auf diesen Beitrag antworten »

edit*

mit Beachtung des Gewichts:
Kugeln in 4 mal 3 aufteilen.
dann 3gegen3 wiegen, Verhältnis merken, und eine Seite der Wage durch die anderen 3 Kugeln austauschen(egal welche von den restlichen 6)(wenn ergebnis gleichschwer dann eine der 3er Samlung(von gewogen) nehmen und mit den noch ungewogenen wiegen- als Basis)(wenn anders dann gefunden, wenn gleich dann müssen die restlichen 3 Kugeln die andere enthalten),durch das Verhältnis der 3Kugeln die sich mit den anderen Unterscheiden ergibt sich ja bereits das Gewicht(leicher/schwerer), von den 3 Kugeln wieder 2wiegen= Ergebnis.
Cybertron Auf diesen Beitrag antworten »

Ich biete folgende Lösung noch dazu an smile

wiege 1,2,3,4 gegen 5,6,7,8
wiege 2,9,10,11 gegen 3,4,5,8
wiege 2,7,8,10 gegen 4,6,11,12

Mit dem Bezeichnungen L = linke Waagschale faellt, R = rechte W. faellt, 0 = Gleichgewicht, ergibt sich folgende Ergebnisliste:

Waege-Ergebnis -> Loesung:
000 -> unmoeglich;
L00 -> Kugel 1 schwer;
R00 -> Kugel 1 leicht;
00L -> Kugel 12 schwer;
L0L -> Kugel 6 leicht;
R0L -> Kugel 7 schwer;
00R -> Kugel 12 leicht;
L0R -> Kugel 7 leicht;
R0R -> Kugel 6 schwer;
0L0 -> Kugel 9 schwer;
LL0 -> Kugel 5 leicht;
RL0 -> Kugel 3 leicht;
0LL -> Kugel 10 schwer;
LLL -> Kugel 2 schwer;
RLL -> Kugel 4 leicht;
0LR -> Kugel 11 schwer;
LLR -> Kugel 8 leicht;
RLR -> unmoeglich;
0R0 -> Kugel 9 leicht;
LR0 -> Kugel 3 schwer;
RR0 -> Kugel 5 schwer;
0RL -> Kugel 11 leicht;
LRL -> unmoeglich;
RRL -> Kugel 8 schwer;
0RR -> Kugel 10 leicht;
LRR -> Kugel 4 schwer;
RRR -> Kugel 2 leicht;

Loesungsweg: Die Kugeln 1 - 12 ternaer mit {0,L,R}^3 so kodieren, dass an 1., 2. und 3. Stelle jeweils gleich viele R und L vorkommen.
[email protected] Auf diesen Beitrag antworten »

Das ganze Problem ist doch schon seit Jahren gelöst:

http://www.onlinemathe.de/forum/3-Waagen...te-Kombinatorik
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Wozu der Link in ein anderes Forum? Hast du dir den Thread nicht durchgelesen? Dann hättest du nämlich gemerkt, dass die Aufgabe hier schon Anfang 2004 gelöst wurde. Teufel
ilja Auf diesen Beitrag antworten »

Hier eine sehr gut erklärte Videolösung https://www.youtube.com/watch?v=0XgybowjUVU

Hier eine Tabelle die durch systematisches Vorgehen das ganze in 3 Schritten löst wirklich toll :http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_...ln,_L%C3%B6sung

Ansonsten ist das Vorgehen eig. leicht ihr reduziert durch jeden Schritt die Kugeln und steht nach dem 1. wiegen vor dem problem :

1a. entweder 1 in 8 Kugeln und 4 normale kugeln
1b oder 1 in 4 Kugeln und 8 normale

nach dem 2. Wiegen

2aa entweder 1 in 6 , 2 evtl. leichte oder schwere,4 normale
2ab oder 1 in 2 evtl. schweren oder leichten kugeln

2ba 1 in 2 evtl. schweren oder 2 evtl leichten

nach dem 3. Wiegen spätestens habt ihr eure gefunde kugel wie ihr drauf kommt geht ihr am besten im video durch

der weg 1a - 2aa - 3 ist dabei am schwersten

die tabelle ist einfach krass gemacht kriegt man zum beispiel -4 heraus nach den 3 wiegen dann ist es eine schwere und zwar die 4. bei +4 ist es die leichte mit der nr 4
BoRoBer99 Auf diesen Beitrag antworten »
Mal ein anderer evtl. einfacherer Ansatz
12 Kugel eine davon unterschiedlich (Beispiel schwerer) 3 x wiegen

6 > 6 1. Wiegung

teile die 6 schwereren in 3 und 3

3 > 3 2. Wiegung

nehme 2 der drei schwereren 3. Wiegung

1 = 1 => die Kugel neben der Waage ist es
1 > 1 => erklärt sich von selber genau wie 1 < 1
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein gut abgehangener Thread, der aber doch aller paar Jahre mal wieder Interessenten findet... smile


Der Clou an dem Originalrätsel in diesem Thread ist aber doch, dass man vorher nicht weiß, ob die eine abweichende Kugel leichter oder schwerer ist, und es trotz dieser geringeren Information eben doch auch mit 3 Wägungen schafft.

Hat man hingegen doch die Information, dass die eine abweichende Kugel schwerer ist (wovon du ja ausgehst), dann schafft man es locker mit Wägungen, die eine schwere Kugel aus bis zu Kugeln herauszufinden. Was hier im Fall dann 27 statt 12 Kugeln bedeutet.

Insofern ist dein Ansatz nicht "einfacher", er geht von viel, viel leichteren Rahmenbedingungen, und damit einer anderen Problemstellung aus.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »