Beschränktheit/Konvergenz

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der tim Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränktheit/Konvergenz
moin!

ich hab folgende Frage:

der Satz von Bolzano-Weierstraß besagt, dass jede beschränkte reelle Folge eine konvergente Teilfolge hat. gilt das auch andersrum?

sprich: ist eine Folge, die eine konvergente Teilfolge hat, auch beschränkt?

wenn nein, könnt ihr mir Tipps geben, wie ich beweise, dass eine reelle monotone Folge mit Häufungspunkt b beschränkt ist??


danke im voraus.


der tim.
carsten Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Folge mit konvergenter Teilfolge muss nicht beschraenkt sein. Man kann sich ganz einfach ein Gegenbeispiel konstruieren.
Aber aus der Definition vom Haeufungspunkt kann man aehnlich die Beschraenktheit folgern, wie bei der Konvergenz der Folgen. Also mit einer Umgebung

Gruesse Carsten
der tim Auf diesen Beitrag antworten »

yo, dann probier ichs mal.


danke für den Tipp!!


grüße, der tim.
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränktheit/Konvergenz
Zitat:
Original von der tim
sprich: ist eine Folge, die eine konvergente Teilfolge hat, auch beschränkt?


Nein.

Zitat:
Original von der tim
dass eine reelle monotone Folge mit Häufungspunkt b beschränkt ist??


Versuche doch direkt zu beweisen, dass b auch Grenzwert dieser Folge ist, dann fällt die Beschränktheit als Nebenprodukt ab - die Monotonie im Zusammenhang mit der vorliegenden konvergenten Teilfolge ist ein äußerst starkes Hilfsmittel!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein! Das gilt nicht. Nimm einfach n Gegenbeispiel: Die einfachste konvergente Folge ist eine konstante Folge. Jetzt setzt du alle Folgenglieder mit geradem n =dieser Konstanten. Die anderen, also alle mit ungeradem n einfach eine Folge einsetzen, die nicht beschränkt ist!
der tim Auf diesen Beitrag antworten »

ok., sorry, falsche Aufgabenstellung zitiert, ich soll zeigen, dass eine reelle monotone Folge mit Häufungspunkt konvergiert.
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst doch die Häufungspunkteigenschaft mit epsilon erfassen, dann geht das auch ganz einfach mit dem Zeigen der Konvergenz Augenzwinkern
der tim Auf diesen Beitrag antworten »

Moment, Du meinst (sei b der Häufungspunkt), dann gilt


{n| |a_{n}-b|<epsilon} ist unendlich groß, dass heißt, es gibt unendlcih viele Folgenglieder, die gegen a streben, also ist b der limes von a_{n}??
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, nich ganz so direkt, da bist du schon ein wenig zu weit. Mach erstmal folgendes:
Sei b der angesprochen Häufungspunkt. Zeige, dass es kein n aus N gibt, sodass !! Danach gehts weiter ...
der tim Auf diesen Beitrag antworten »

zur Beseitung des Brettes vor meinem Kopf...


wir nehmen an (obda), die folge ist monoton wachsend und hat einen Häufungspunkt (unser b), dann ist (evtl. zu zeigen) b =sup a_{n} ist.

und da jede monoton wachsende folge mit sup auch ein inf hat (glaube in der regel -inf, kann aber auch sein, dass ich mich jetz total verrenne... unglücklich ) ist die folge beschränkt und eine monotone, beschränkte folge is konvergent, was zu zeigen wäre...


*ratlosguck* stimmt das??
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so geht das natürlich, dazu musst du aber zeigen, dass b=sup an! Dass sie nach unten beschränkt ist, ergibt sich ja nunmal aus der Monotonie, denn alle Folgenglieder sind größer als a1, also ist a1 eine untere Schranke. Dann bist du fertig.
Ich dachte, man sollte zeigen, dass b der Grenzwert ist, deshalb war ich auf dem umständlichen Weg Augenzwinkern
der tim Auf diesen Beitrag antworten »

juht, dann mache ich mich mal daran, dass b=sup an is.

aber das wird wohl kein Problem sein.

und das Brett vorm Kopf is dann hoffentlich auch weg.

danke für die Hilfe und bis die Tage!!

der tim.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wenns Probleme beim b=sup a_n gibt, einfach melden smile
Susanne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränktheit/Konvergenz
Der Satz gilt NICHT andersherum, denn z.B. die Folge (a_n) mit

a_n = n (für n = 0, 2, 4, ...)
a_n = 1 (für n = 1, 3, 5, ...)

hat eine konvergente Teilfolge, ist aber unbeschränkt.

Für den Beweis musst du die Definition der Konvergenz (nur endlich viele Folgenglieder außerhalb Epsilonradius um Häufungspunkt) benutzen und die der Monotonie. Die Definitionen findest du in Analysis1 - Büchern. Versuche es selbst zusammenzupuzzeln.

MfG Susanne
Susanne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränktheit/Konvergenz
Hi nochmal, habe vorhin nicht gesehen, dass schon ne ganze Menge hilfreiche Kommentare zu der Frage kamen.
der tim Auf diesen Beitrag antworten »

moin!!


alles klar, Beweis geführt und Aufgabenblatt abgegeben!


Ergebnis bekomme ich am Donnerstag wieder.


vielen Dank für eure Hilfe!!
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