Tangente und Schnittpunkt mit Graph

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BlobbyFan Auf diesen Beitrag antworten »
Tangente und Schnittpunkt mit Graph
Hallo,

ich habe eine Aufgabe (LS Analysis S. 53 Nr. 11) zu lösen.

Dabei gehts um die Funktion f(x) = 4 - 1/2x² , dies ist sozusagen die Fahrlinie eines Formel1-Autos. Bei Glatter Fahrbahn rutscht er aus und landet im Punkt P(0|6).

Jetzt muss man den Punkt berechnen, an dem das Fahrzeug die Fahrbahn verlassen hat.

Ich habe mir überlegt:
Man muss sozusagen den Schnittpunkt der Tangente mit dem Graphen f(x) ermitteln.

Das geht natürlich nicht, weil der Punkt ja nicht gegeben ist.

Kann man da irgendwas gleichsetzen oder so etwas.

Danke schon mal im Voraus für eure Tipps.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du denn schon ne Idee? Da gibts verschiedene Wege, auch einen, bei dem man keine Differentialrechnung braucht ...
BlobbyFan Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, ich hab mir gedacht, wenn man mit Hilfe eines Punktes die Tangente berechnen kann, dann kann man dies bestimmt auch im umkehrschluss. Aber so recht hab ich keine Idee. Die Aufgabe wurde uns so gestellt, den Stoff dazu sollen wir uns selber erarbeiten. Vielleicht ist ja ein anderes Verfahren von Nöten. geschockt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hattet ihr denn Differentialrechnung schon?
BlobbyFan Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du damit den Differenzqotienten, den man mit der x- oder h-Methode ermitteln kann?

Wenn das falsch sein sollte, dann sagt mir das nichts.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich meine eher Ableitung. Weißt du schon, wie du die Funktion oben ableitest und was die Ableitung mit der Steigung der Tangente zu tun hat?
 
 
hummma Auf diesen Beitrag antworten »

genau das meint er. Ich wuerd ihn aber fuer die Aufgabe nicht hernehmen. Mein Lösungsweg waere der die Geradenschar durch P zu bestimmen und dann zu schauen fuer welchen Parameter die Schar genau einen Schnittpunkt mit der Parabel hat. Der weg bietet sich hier an weil der Punkt auf der y- Achse liegt und die Geradenschar so sehr schnell bestimmt ist.

edit: MSS mit der h bzw x Methode bestimmt man die Ableitung.
BlobbyFan Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung kann ich ja mit Hilfe von:



ermitteln. Aber wie diese im Zusammenhang steht, das scheint mir im Moment noch nicht klar.
BlobbyFan Auf diesen Beitrag antworten »

@ hummma

Der Begriff "Geradenschar" sagt mir leider auch nichts.

Als Ableitung bekomme ich f'(x) = x raus.

Stimmt das?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also du sollst ja eine Gleichung einer Tangenten bzw. den Punkt, wo sie den Graphen schneidet berechnen. Die Tangentensteigung in diesem Punkt ist gleich dem Wert der Ableitung in diesem Punkt. Dann kannst du den Punkt ganz einfach berechnen.
hummma Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind alle Geraden die durch einen Punkt gehen (ausser die die parallel zu y-Ache verlaeuft). y=mx waere zum Beispiel die Geradenschar aller Urprungsgeraden.
BlobbyFan Auf diesen Beitrag antworten »

@ MSS

Könntest du mir das an einem simplen Beispiel erklären?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal weißt du ja, dass die Geradengleichung irgendwie so lautet:



m musst du noch bestimmen. Jetzt soll sie Tangente an den Graphen sein. Das heißt, sie berührt den Graphen in einem Punkt, dessen x-Koordinate benenne ich einfach mit . Dann ist !!! Das sollte eigentlich bekannt sein mit der Tangentensteigung. Die Ableitung von f(x) ist , also ist und einsetzen in die Geradengleichung:





Jetzt weißt du, dass der Punkt zur Geraden gehört, du musst erstmal f(x_0) ausrechnen über die Parabelgleichung und das ganze dann in die Geradengleichung einsetzen und dann nach x_0 auflösen Augenzwinkern
BlobbyFan Auf diesen Beitrag antworten »

Danke soweit,

werde mich morgen früh daran versuchen.

Aber jetzt viel zu müde Wink
BlobbyFan Auf diesen Beitrag antworten »

Morgen Wink

das Prinzip habe ich soweit verstanden.

Die Ableitung von f(x) = 4-½x² ist ja:


f'(x) = -x (durch h-Methode ermittelt)

Aber ich versteh nicht wie ich f(x_0) ausrechnen soll, wenn ich keinen x-Wert der Funktion f(x) = 4-½x² habe. Scheint ne simple Aufgabe zu sein, aber ich hab ne Denklücke. X(
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst ja nich ne Zahl ausrechnen, sondern nur den Term. f(x_0) is ganz einfach:

BlobbyFan Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du einfach gleichsetzen?

4-(1/2)x_0² = x_0*x+6

????
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau, aber für das x musst du auch noch x0 einsetzen, weil der Punkt ja zur Geraden gehört ...
Dann bekommst du





Das musst du nur noch nach umstellen. Dann bekommst du ne Lösung für und musst dann nur noch berechnen smile
BlobbyFan Auf diesen Beitrag antworten »

dann bleibt doch 2,5 übrig, wenn man nach x_0 umstellt

und 2,5 in die gleichung einsetzt:

4-(1/2)2,5² = 0,875

dann ist die neue gleichung der geraden doch:

y=0,875x+6

???
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab da selbst grad nich aufgepasst, die Gleichung war doch



Dann musst du also die Gleichung



lösen. Dein Ergebnis war aber sowieso falsch eben. Übrigens wäre die Geradengleichung dann



und nicht



wie du es gemacht hast.
BlobbyFan Auf diesen Beitrag antworten »

x_0^4 = 2,5

dieses müsste aber richtig sein
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie kommst du darauf? Is nämlich leider nich richtig ... unglücklich
BlobbyFan Auf diesen Beitrag antworten »

also:

4-(1/2)x² = -x²+6 | -4

-(1/2)x² = -x²+2 | +x²

-(1/2)x²+x² = 2 | *2 ?????? (vielleicht steckt er ja hier)

x^4 = 4

und die 4. Wurzel aus 4 ist 1,41

y=1,41x+6

jetzt aber
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BlobbyFan
-(1/2)x²+x² = 2 | *2 ?????? (vielleicht steckt er ja hier)

x^4 = 4


Autsch Hammer Hier liegt der Fehler. Wenn du mit 2 Multiplizierst, bekommst du -x²+2x²=4 raus. Das ist defnitiv nicht x^4=4, sondern x²=4.
BlobbyFan Auf diesen Beitrag antworten »

ich multiplieziere doch von der linken seite auf die rechte und nicht anders herum
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

So darfst du das nicht sehen. Korrekt heißt es, dass du auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens mit 2 multiplizierst. Und auf gar keinen Fall ist x²+x²=x^4. Ausführlich sieht das dann so aus.









BlobbyFan Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe das aber so angewendet wie man es mir vor jahren in der schule beigebracht hat, bzw. wie man es auch in physik macht (formeln umstellen verwirrt )

Nagut, dann ist mir das jetzt einleuchtend und die
gleichung y=2x+6 ist dann die Tangente
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Das "Rüberbringen" von Faktoren funktioniert nur, wenn keine Summe vorhanden ist. Deswegen ist der Ausdruck "Rüberbringen" ein bißchen schwammig. Funktioniert in einigen Fällen, aber eben nicht immer.

Wie gesagt: korrekt heißt es, dass auf beiden Seiten mit einer Zahl multipliziert/addiert wird.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BlobbyFan
Nagut, dann ist mir das jetzt einleuchtend und die
gleichung y=2x+6 ist dann die Tangente


oder y=-2x+6, weil man sowohl -2 als auch 2 als Lösung für x0 bekommt. Du hast komischerweise die 2 vergessen und die -2 gehabt verwirrt

edit: Übrigens bin ich mir sehr sehr sicher, dass du das so in der Schule nicht gelernt hast mit dem Umstellen!!!
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