Gleichung hat höchstens n Lösungen |
| 21.11.2004, 00:59 | Sarah85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Gleichung hat höchstens n Lösungen Ich komme leider mit dieser Aufgabe nicht ganz klar: Es sei K ein Körper, a1,...,an K. Zeige: Die Gleichung ... 0 hat in K höchstens n Lösungen. Hinweis: Induktion nach n. Ich hab mich schon ein wenig mit der Aufgabe beschäftigt, und habe außerdem noch ein Frage: Ist es ein Körper der reellen Zahlen, oder kann es auch einer der komplexen Zahlen sein? Denn dann wären ja mehr Lösungen möglich. Freue mich sehr über eine Antwort und danke schonmal im Voraus! MfG, Sarah. |
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| 21.11.2004, 01:36 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
die reellen und komplexen zahlen sind beides selbst körper, aber es gibt noch reichlich andere.... über deinen körper ist hier nichts ausgesagt, es muss also ohne wissen darüber lösbar sein.
es gilt in R und C: ein polynom vom grad d hat genau d nullstellen in C, während es in R höchstens d nullstellen hat.... wie sieht denn jetzt deine induktion bislang aus? was hast du dir denn schon so überlegt? mfg jochen |
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| 21.11.2004, 01:46 | Gegenkathete | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Gleichung hat höchstens n Lösungen Mal eine ganz formlose Induktion: In Körpern gibt es Polynomdivision und man kann zeigen (relativ einfach), dass man im Falle einer Lösung diese als Linearfaktor abspalten kann. Nun kann man höchstens (beachte: es können ja manche Lösungen in höherer Vielfachheit auftreten, etwa bei (x-1)^2=x^2-2x+1 ist 1 einzige Lösung, aber Vielfachheit 2) n Linearfaktoren abspalten, wenn man hinterher bei ausmultiplizieren grad n haben will... |
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| 21.11.2004, 01:54 | Gegenkathete | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Gleichung hat höchstens n Lösungen Zu dem ersten Beitrag: Es gibt übrigens unendlich viele Körper. Man kann nämlich zeigen, dass die F_m Mengen mit m Elementen genau dann Körper sind, wenn m=p Primzahl ist (das zu zeigen ist auch nicht so schwer...). Und es wusste ja bereits Euklid: Es gibt unendlich viele Primzahlen! Im Übrigen gibt es natürlich noch andere Körper wie die berist erwähnte R und C, auch Q und so weiter... |
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| 21.11.2004, 11:34 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Ansatz is schon gut, aber man braucht aber das mit den n Linearfaktoren doch gar nicht! @Sarah85 Nimm dir ein Polynom (n+1). Grades. Spalte einen Linearfaktoren ab und zeige, dass der zweite Faktor ein Polynom n. Grades ist! Voraussetzung anwenden... Das Schwierige daran wird aber, dass du erstmal zeigen musst, dass das Polynom (n+1). Grades eine Nullstelle hat, die du abspalten kannst. |
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| 22.11.2004, 18:28 | Gegenkathete | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Gleichung hat höchstens n Lösungen Zu Mathespezialschüler: Es ist doch zu zeigen, dass HÖCHSTENS n Lösungen existieren. Man hat also nicht zu zeigen, dass eine existiert, sondern nur, dass du diese im Falle der Existenz abspalten kannst. Dies geht darüber, dass du sog. Polynomringe (hier in einer Variablen) über Körpern betrrachtest, die euklidisch sind (also Teilen mit Rest zulassen). Sei nun f Element von K[X] und a eine Nullstelle von f in K, dann wird f von (X-a) geteilt, d.h. es existiert ein g in K[X] mit f=(X-a)g. Beweis: Da Teilen mit Rest existiert (dies zu zeigen spart man sich, geht über die Gradfunktion als euklidische Normfunktion...), gibt es g und r in K, so dass auf jeden Fall eine Zerlegung f = (X-a)g +r existiert mit grad(r) < grad (X-a) (und grad(X-a)=1, da Linearfaktor). Somit ist r ein konstantes Polynom. Setzt man nun a ein, so erhält man f(a)=(a-a)g+r(a), und f(a) war ja 0, da a Nullstelle sein sollte. Also 0=(a-a)g+r(a)=0+r(a)=r(a). Da aber r konstantes Polynom war, etwa R8a)=r, folgt r=0, d.h. f=(X-a)g, was zu zeigen war. |
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| 22.11.2004, 22:17 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Gegenkathete Du hast mich missverstanden. Bei deinem Beweis setzt du voraus, dass a eine Nullstelle ist, dass das Polynom also mindestens eine Nullstelle besitzt. Du müsstest aber vorher erstmal zeigen, dass das Polynom mind. eine Nullstelle besitzt, da du sonst nicht den Linearfaktor abspalten könntest, da du ja nicht sicher bist, dass es eine Nullstelle gibt. Das war, was ich meinte ... |
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| 23.11.2004, 01:41 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es geht auch ohne Linearfaktoren. Man nimmt an, es gäbe n+1 Lösungen l_1, ..., l_{n+1}. Dann gilt also für j = 1, ..., n+1. Dabei ist Fasst man die a_k's in einem Vektor zusammen: , dann entsteht so eine Gleichung La = 0 mit einer (n+1)x(n+1)-Matrix L mit einer bestimmten Gestalt. Nun kann man einfach per Induktion zeigen, dass eine solche Matrix stets invertierbar ist (Entwicklung nach der (n+1)-ten Spalte), so dass aus La = 0 folgte, dass a = 0, was aber nicht stimmt. Widerspruch! |
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| 23.11.2004, 01:59 | Gegenkathete | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Gleichung hat höchstens n Lösungen Nochmal zu Mathespezialschüler Ich glaube, wir reden aneinander vorbei. Wenn gezeigt werden soll, dass höchstens n Lösungen existieren, so ist ja erlaubt, dass keine Lösung existiert. Wenn aber eine Lösung existiert, dann (siehe oben) kann man diese abspalten. Ich setzte also nicht voraus, dass a Nullstelle ist, sondern ich unterscheide: gibt es keine Nullstelle, so höchstens n, Behauptung stimmt. Gibt es eine Nulstelle, dann siehe oben. Gibt es für (mit obigen Bezeichnungen) g keine Nullstelle, dann hat man eine, also höchstens n. Hat auch g eine (etwa b), so dividere heraus und erhalte f=(X-a)(X-b)h, etc. Das geht höchstens n mal, also höchstens n Nullstellen. |
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| 23.11.2004, 15:52 | Sarah85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Gleichung hat höchstens n Lösungen Hallo! Vielen Dank für die ganzen Antworten! Ich hab jetzt dadurch die Lösung für die Aufgabe. Also dankeschön! MfG, Sarah. |
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| 23.11.2004, 21:50 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Gegenkathete Ok, hab nich kapiert, dass du da Fälle unterscheidest ... 
So geht das natürlich. Wobei das mit dem a ausklammern und dann nochmal b, das ist ja mehr oder weniger wieder ein "..."-Beweis, der eigentlich auf die angesprochene Induktion hinausläuft. |
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