Wie Ungleichung mit n! lösen?

21.11.2004, 10:06	Thomas99	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie Ungleichung mit n! lösen? Hallo, wir haben an der Uni u. a. folgende Aufgabe bekommen: $\begin{eqnarray} 2^{n}(n!)^{2}/(2n)!<(2/3)^{n-1}, n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ Man soll zeigen, für welche natürlichen Zahlen n die Ungleichung gilt. Ich weiß gar nicht, wie ich da anfangen soll, habe sonst noch nie eine Ungleichung/Gleichung gelöst, die n Fakultät enthielt. Danke schon mal für alle Tipps. Grüße Thomas
21.11.2004, 12:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist ein Binomialkoeffizient darin versteckt. Die Ungleichung ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} {{2n} \choose n} > 2 \cdot 3^{n-1} \end{eqnarray}$ Und durch Probieren findet man schnell, ab welchem $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ das richtig ist. Und hat man das erst einmal gefunden, kann man die Aussage z.B. durch vollständige Induktion beweisen. Für den Induktionsschluß beachte $\begin{eqnarray} {{2n+2} \choose {n+1}} = \frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!} = \frac{2(2n+1)}{n+1} \cdot {{2n} \choose n} \end{eqnarray}$ Wenn dir Abschätzungen für Binomialkoeffizienten bekannt sind, kannst du natürlich auch versuchen, den Beweis damit zu führen.
21.11.2004, 12:15	pimaniac	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie Ungleichung mit n! lösen? 1.) setzt für n 0,1,2,3,4,5 usw. ein und schau ob ne wahre oder falsche Vermutung herauskommt. 2.) Stelle eine Vermutung auf (entweder: "Die Ungleichung gilt für n größer..." oder "Die Ungleichung gilt nicht für n größer....") 3.) Versuche dieses Vermutung zu beweisen (Vollständige Induktion ist bei solchen Ungleichungen immer ein guter Tipp) Andere Möglichkeit: $\begin{eqnarray} 2^{n}(n!)^2/(2n)!= \frac{\prod_{k=1}^n~k}{\prod_{k=1}^n~2k-1}=\prod_{k=2}^n~\frac{k}{2k-1} \end{eqnarray}$ Diese Idee genauer durchzuformulieren bzw. zu zeigen dass der letzte Ausdruck wirklich kleiner ist als $\begin{eqnarray} (2/3)^{n-1} \end{eqnarray*}$ überlass ich deiner Phantasie

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »