einfache konvergenzfrage

21.11.2004, 11:24

matze2002

einfache konvergenzfrage

also eigentlich ist des ja einfach... aber naja ich frage trotzdem besser mal nach....

kann ein wert k hoch n... wobei k aus den komplexen zahlen ist und n element n ist konvergieren, ausser gegen 1 und 0?

wenn man das jetzt um schreibt steht da ja $\begin{eqnarray*} (a+ib)^{n} \end{eqnarray*}$

also gibt es nur die möglichkeiten das a=ib dann konvergiert es gegen null oder ib=a+1 dann würde es gegen 1 konvergieren oder?
mmh irgendwie naja
würde mich freuen wenn mir einer helfen kann

21.11.2004, 11:51

murray

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RE: einfache konvergenzfrage
Mit der Darstellung $\begin{eqnarray*} (a+i\cdot b)^{n}=|a+i\cdot b|^{n}\cdot E(n\cdot \alpha)) \end{eqnarray*}$ ist es klar!

mfg

21.11.2004, 12:18

matze2002

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RE: einfache konvergenzfrage
mhh ich versteh den zweiten teil deiner darstellung nicht...

21.11.2004, 12:26

Mathespezialschüler

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Damit meint er:

$\begin{eqnarray*} (a+bi)^n=|a+bi|^n\cdot e^{in\alpha}=|a+bi|^n\cdot (\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a+bi| \end{eqnarray*}$ ist der Betrag, $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der Winkel der komplexen Zahl in Polarform.

21.11.2004, 12:27

murray

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RE: einfache konvergenzfrage
Die Kreisteilungsgleichung!

$\begin{eqnarray*} E(\alpha)=i\cdot sin(\alpha)+cos(\alpha) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=|a+i\cdot b| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A \geq 0 \end{eqnarray*}$

1.Fall: A>1, dann ist $\begin{eqnarray*} A^{n} \end{eqnarray*}$ nicht konvergent!

2.Fall A=1, dann ist $\begin{eqnarray*} A^{n} \end{eqnarray*}$ konst

3.Fall A<1, dann $\begin{eqnarray*} A^{n} \end{eqnarray*}$ Nullfolge

21.11.2004, 12:29

iammrvip

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Zitat:

Original von murray
Die Kreisteilungsgleichung!

$\begin{eqnarray*} E(\alpha)=i\cdot sin(\alpha)+cos(\alpha) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=|a+i\cdot b| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A \geq 0 \end{eqnarray*}$

japp. ich glaub, dass meint er Augenzwinkern

21.11.2004, 12:38

matze2002

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RE: einfache konvergenzfrage
hehe ok jetzt habe ich es verstanden, hatte erst ne halbe vorlesung über die komplexen zahlen.
vielen dank habt mir gerade sehr bei der lösung der aufgabe geholfen! danke danke!

obwohl
kann man zeigen das des sich um eine nullfolge handelt?

d.h. den dritten fall? a<1, dann ist a^n eine nullfolge.

für welche Im(a) und Re(a) wird dies eine NUllfolge?

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

21.11.2004, 13:01

Mathespezialschüler

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Du kannst doch A, den Betrag der komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} z=a+bi \end{eqnarray*}$ , ganz einfach aus a und b, also Real- und Imaginärteil berechnen! Dann siehst du doch sofort, für welche a,b A<1 ist!

21.11.2004, 13:07

murray

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Für die deren Betrag < 1 ist

$\begin{eqnarray*} A^{n+1}<A^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1) \cdot ln(A)<n\cdot ln(A) \end{eqnarray*}$

gilt dann wenn ln(A)<0

$\begin{eqnarray*} (n+1)>n \end{eqnarray*}$
mfg

22.11.2004, 15:40

Mathespezialschüler

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@murray
Ich versteh nich ganz, was du damit aussagen möchtest. Was hast du damit bezweckt? A<1 und ln(A)<0 sind doch äquivalent! verwirrt

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