Wieso darf man bei einer Gleichung auf beiden Seiten dasselbe machen?

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way Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso darf man bei einer Gleichung auf beiden Seiten dasselbe machen?
Hallo zusammen,
ich bin gerade dabei Schlussfolgerungen aus den Körperaxiomen zu beweisen. Da wird oft bei Gleichungen auf beiden Seiten dasselbe "gemacht" (Addieren, Multiplizieren usw.).
Aber es wird nirgends gesagt, ob man das überhaupt darf, und vor allem wieso man das darf.

In der Schule wurde einem beigebracht, dass man es mit einer Waage sich vorstellen soll. (Das ist mir völlig klar).

Aber wieso darf ich das eigentlich? Steht doch nirgends in den Körperaxiomen...

Grüsse...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu brauch es keine Körperaxiome, ja überhaupt keine algebraische Struktur:

Wenn zwei Elemente gleich sind, dann sind natürlich auch ihre Bilder einander gleich, die bei irgendeiner Abbildung entstehen, denn es sind ja dieselben Elemente, die da abgebildet werden...

Was anderes wäre es, wenn auch die Umkehrung gelten soll, d.h., im Sinne einer Äquivalenz. Dann muss das besagte zumindest injektiv sein.
way Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die schnelle und präzise Antwort.
Eine Frage hätte ich allerdings noch dazu.

Bevor ich überhaupt die Schlussfolgerungen aus den Körperaxiomen bewiesen habe, kann ich doch eigentlich nicht von Abbildungen sprechen, da ich ja zu dem Zeitpunkt eigentlich gar nicht weiss was eine Abbildung ist.

Also muss das doch vorher irgendwie sichergestellt sein, dass ich das machen darf.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von way
da ich ja zu dem Zeitpunkt eigentlich gar nicht weiss was eine Abbildung ist

Eins muss man dir lassen: Du stellst Fragen, die einen schon ziemlich stutzen lassen. Nicht mathematisch, aber didaktisch. Augenzwinkern
way Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte gedacht es ist klar, was ich meine.
Um Mathe zu studieren braucht man ja keine Schulmathematik.
Ich nehme mir ein Unimathebuch in die Hand und fange ganz vorne an mich durchzuarbeiten.
Als aller erstes fange ich mit den Körperaxiomen an. "Zu dem Zeitpunkt" weiss ich noch gar nicht was eine Abbildung ist.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Um zu definieren was Abbildungen sind, braucht man keine Körperaxiome, sondern nur die Mengenlehre.
 
 
way Auf diesen Beitrag antworten »

Das heisst, ich muss erst Mengenlehre machen, dann Abbildungen und dann 5 Schritte zurück und dann erst Körperaxiome...
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von way
Das heisst, ich muss erst Mengenlehre machen, dann Abbildungen und dann 5 Schritte zurück und dann erst Körperaxiome...


Natürlich, schon der erste Satz in der Definition von Körpern auf Wikipedia benutzt die Begriffe "Menge" und "Verknüpfung".
way Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank für die Antworten.
Grüsse und einen schönen Tag noch :-)
way Auf diesen Beitrag antworten »

Aber eigentlich bräuchte man ja nicht einmal den Abbildungsbegriff, geschweige denn den Mengenbegriff.

Wenn ich a=c habe und ich will auf beiden Seiten b addieren.
Dann habe ich doch a+b. Und da a=c ist, kann ich ja für a auch c schreiben, somit hab ich c+b. Und fertig.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

So kann man's auch ausdrücken. Im Grunde genommen habe ich oben nix anderes gesagt, nur in allgemeineren Kontext (nicht nur Addition). Hab ja nicht geahnt, dass dich der simple Abbildungsbegriff gleich aus der Bahn wirft - übrigens viel simpler als so eine komplexe Operation



Big Laugh
way Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss nicht was das jetzt mit +:RxR->R in dem Zusammenhang soll... Es wird schon nicht so wichtig sein :-)

Habe es ja verstanden auch ohne +:RxR->R

Grüsse und danke nochmal...
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von way
Aber eigentlich bräuchte man ja nicht einmal den Abbildungsbegriff, geschweige denn den Mengenbegriff.

Wenn ich a=c habe und ich will auf beiden Seiten b addieren.
Dann habe ich doch a+b. Und da a=c ist, kann ich ja für a auch c schreiben, somit hab ich c+b. Und fertig.


Ja, wobei man da noch aufpassen muss. Vor einigen Semestern bin ich mit einem Operator "hoch" in Berührung gekommen, der für zwei Mengen ganz natürlich als notiert wurde. Doch der Operator hatte eine sehr merkwürdige Eigenschaft, die mir ziemliche Verständnisschwierigkeiten bereitet hat. Folgende Implikation ist dabei nämlich nicht gültig, d.h. falsch:
.
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Arthur beschreibt eine Abbildung " " zweier Elemente von auf ein Element aus .
Und die Zwei Elemente kann man auch als eines aus interpretieren.
way Auf diesen Beitrag antworten »

Lazarus,
Schön und gut, aber das hat ja nichts mehr mit dem Thema zu tun.

papahuhn,
ok, danke, ich schau mir das bei Gelegenheit nochmal an.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von way
Schön und gut, aber das hat ja nichts mehr mit dem Thema zu tun.

Doch, schon - es war eine Replik auf deine Provokation

Zitat:
Original von way
Das heisst, ich muss erst Mengenlehre machen, dann Abbildungen und dann 5 Schritte zurück und dann erst Körperaxiome...
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von papahuhn
Zitat:
Original von way
Aber eigentlich bräuchte man ja nicht einmal den Abbildungsbegriff, geschweige denn den Mengenbegriff.

Wenn ich a=c habe und ich will auf beiden Seiten b addieren.
Dann habe ich doch a+b. Und da a=c ist, kann ich ja für a auch c schreiben, somit hab ich c+b. Und fertig.


Ja, wobei man da noch aufpassen muss. Vor einigen Semestern bin ich mit einem Operator "hoch" in Berührung gekommen, der für zwei Mengen ganz natürlich als notiert wurde. Doch der Operator hatte eine sehr merkwürdige Eigenschaft, die mir ziemliche Verständnisschwierigkeiten bereitet hat. Folgende Implikation ist dabei nämlich nicht gültig, d.h. falsch:
.

Bitte erkläre das. Was verstehst Du unter A^B (für mich ist das die Menge aller Abbildungen von B nach A) und warum sollte diese Implikation da nicht gelten?
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast1
Bitte erkläre das. Was verstehst Du unter A^B (für mich ist das die Menge aller Abbildungen von B nach A) und warum sollte diese Implikation da nicht gelten?


Nein, das war damit nicht gemeint. Im damaligen Kontext waren Komplexitätsklassen, die von unterschiedlichen Arten von Turingmaschinen erzeugt wurden (aus dem Namen der jeweiligen Klasse kann man die Art der TM herauslesen).
Das "hoch A" bezeichnete ein "Upgrade" der jeweiligen TM mit einer Menge , und war dann die Komplexitätsklasse, die mit den aufgerüsteten TMs erzeugt wurde.

Nun konnte es passieren, dass zwei Mengen unterschiedlicher Turingmaschinen gleiche Komplexitätsklassen erzeugt haben. Das "Upgrade" wirkt aber auf die Erzeuger der Klassen, die durchaus unterschiedlich sind, so dass schließlich unterschiedliche aufgerüstete Komplexitätsklassen entstehen.

Letztendlich hat man also geschummelt, weil und doch über ihren Namen unterscheidbar waren.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@papahuhn

In der Mathematik versteht man unter gewöhnlich die Menge aller Abiildungen . Und in dem Sinne ist stets , sofern .

Also sei bitte vorsichtig mit deinen Informatik-Absonderlichkeiten. Augenzwinkern
sqrt4 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab da auch was, was zu dem Thema vllt ganz gut passt und was ich auch noch nicht so ganz verstanden hab.

Es geht darum, dass in einer Gruppe die Kürzungregel gilt, also aus

folgt

Wie kann man diese nötige Injektivität der Abbildung (die Arthur angesprochen hat - s.o.) beweisen?
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »



Umformungen gerechtfertigt, da nach Gruppenaxiom 3 es stets ein rechtsinverses gibt in Zeile 1, nach Gruppenaxiom 1 man assoziativ umformen darf in Zeile 2, und nach Gruppenaxiom 2 es stets ein rechtsinverseres Element gibt.
sqrt4 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Ich hab zwar eher immer nicht verstanden, warum man auf beiden Seiten jetzt einfach das inverse anwenden darf, aber langsam versteh ichs .. glaub ich zumindest Augenzwinkern

Edit:

Mit folgt ja nach obiger Diskussion, dass dann


jetzt wählt man . So in Ordung?
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem "warum man das beides Anwenden darf" ist ja genau das Thema hier in diesem Diskurs.
sqrt4 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja siehe oben mein Edit. Auf diese Weise hab ichs jetzt glaub ich auch verstanden. Augenzwinkern Nochmals Danke
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Und genauso isses ja auch richtig.
die hifLose jessii Auf diesen Beitrag antworten »
-.-
ich kapier jezz nix meha ...naja ich kann mathe sowieso ned steh 5 -.- *heuL*
sqrt4 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du sagst, dass du auf einer 5 stehst, dann geh ich davon aus, dass du noch zur Schule gehst. Dann musst du dir aber auch sicherlich nicht über das hier den Kopf zerbrechen.
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