Schnittpunkt zweier Komplexer Kreise

21.11.2004, 13:14	Cranton	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkt zweier Komplexer Kreise Hab hier ein kleines Problem, wie berechne ich den Schnittpunkt von zwei komplexen Kreisen der Form $\begin{eqnarray} K_1: \left\| z-a \right\| =r_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K_2: \left\| z-b \right\| =r_2 \end{eqnarray}$ Eine erste Idee war die Kreise einfach gleichzusetzen, indem ich sie Nullsetze, und dann in eine Gleichung packe. War aber nicht sehr erfolgreich. Die nächste idee wäre: Eine orthogonale gerade zu der Strecke (a,b) zu bilden, Gerade mit allgemeinem Fusspunkt. Diese dann in beide Kreisgleichungen einzusetzen, und durchzurechnen. Aber dafür fehlt mir irgendwie der Ansatz. Danke im Voraus Cranton
22.11.2004, 15:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es seien $\begin{eqnarray} a \neq b \end{eqnarray}$ komplex und $\begin{eqnarray} r,s>0 \end{eqnarray}$ reell. Dann beschreiben für komplexes z die Gleichungen $\begin{eqnarray} \left\| z - a \right\| = r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\| z - b \right\| = s \end{eqnarray}$ in der Gaußschen Zahlenebene Kreise um $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ mit dem Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ . Setzt man (die Überstreichung bezeichne die komplexe Konjugation) $\begin{eqnarray} u = 2 \cdot \overline{(a-b)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v = (a+b)\overline{(a-b)} - r^2 + s^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d = \left\| a - b \right\| \end{eqnarray}$ so ist der Radikand von $\begin{eqnarray} f = \sqrt{(d+r+s)(-d+r+s)(d-r+s)(d+r-s)} \end{eqnarray}$ dann und nur dann positiv oder 0, wenn die Kreise gemeinsame Punkte besitzen. Für diesen Fall wählen wir in der Formel die positive reelle Wurzel oder 0. $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gibt dann den doppelten Flächeninhalt desjenigen Drachenvierecks an, das von den Mittelpunkten der beiden Kreise und ihren Schnittpunkten bestimmt wird (Heron-Formel). Die Schnittpunkte der Kreise sind (mit $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ als imaginärer Einheit) $\begin{eqnarray} z = \frac{v \pm i \cdot f}{u} \end{eqnarray}$ siehe dazu auch diesen Strang

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