Gleichungssystem - Textaufgabe [gelöst]

12.04.2007, 16:58

phoebe

Gleichungssystem - Textaufgabe [gelöst]

Hallo allerseits,

Ich habe hier eine Textaufgabe, die zu einem Gleichungssystem führt, welches offensichtlich nicht linear ist. Nun kann ich mich beim besten Willen nicht mehr erinnern, wie so etwas zu lösen ist (ist schon sooo lange her und eine Matheleuchte war ich eigentlich noch nie).

Hier erstmal die Textaufgabe:

Zwey Bäuerinnen tragen zusammen 100 Eyer auf den Markt, eine mehr als die andere, und lösen doch beyde gleich viel Geld. Spricht die erste zur anderen: hätte ich deine Eyer gehabt, so hätte ich 15 Kreutzer gelöst; darauf antwortet die andere: hätte ich deine Eyer gehabt, so hätte ich daraus 6 2/3 Kreutzer gelöst; wie viele hat jede gehabt? (Euler, Petersburg 1766)

Was wissen wir also:
- ingesamt haben die Bäuerinnen 100 Eier
(sagen wir verallgemeinert g Eier)

- wir brauchen zwei Lösungsvariabeln
x = Anzahl Eier Bäuerin 1
y = Anzahl Eier Bäuerin 2

- x <> y (unterschiedlich viele Eier!)

- x >= 0 ; y >= 0 (negative Eier geht ja nicht)

- der Effektive Erlös ist für beide Bäuerinnen gleich

- hypothetischer Erlös, wenn Bäuerin 1 y Eier hätte = 15 Kreutzer
(verallgemeinert a Kreutzer)

- hypothetischer Erlös, wenn Bäuerin 2 x Eier hätte = 6 2/3 Kreutzer
(verallgemeinert b Kreutzer)

Das ergibt mir folgenes Gleichungssytem:

1) x + y = g
2) ax/y = by/x

Ich hab dann erstmal Glg 1) nach x aufgelöst und substituiert, so dass ich für Glg 2) erhalte:

a(g-y)^2 = by^2

Aber wie weiter? Sämtliche meiner Versuche das System zu lösen, Normalformen herzustellen, Determinanten zu bestimmen oder ähnliches enden irgendwo im Nirvana. Und mein altes Mathebuch hält sich in Sachen Theorie doch sehr zurück.

Bin dankbar um jede Hilfestellung!

Liebe Grüsse

phoebe

12.04.2007, 18:03

tigerbine

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RE: Gleichungssystem - Textaufgabe
Bei mir würde das so aussehen:

$\begin{eqnarray*} x + y = 100 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_x\cdot x = p_y \cdot y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_x \cdot y = 15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_y \cdot x = 6\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

***************************************
$\begin{eqnarray*} p_x = \frac{15}{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_y=\frac{20}{3x} \end{eqnarray*}$

***************************************
$\begin{eqnarray*} 15\cdot \frac{x}{y} = \frac{20}{3} \cdot \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 15x^2 = \frac{20}{3} \cdot y^2 \end{eqnarray*}$

***************************************

Jetzt die erste Gleihucng benutzen und die quadratische Gleichung lösen.

12.04.2007, 18:27

phoebe

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RE: Gleichungssystem - Textaufgabe
Erstmal vielen Dank für die Antwort. Allerdings hilft mir das noch nicht so wirklich.

Wenn Du mein Ausgangsposting betrachtest, siehst Du, dass ich so weit schon war, nur dass ich es allgemein (also mit Parametern anstatt Zahlen) formuliert habe (ok - die Darstellung war nicht so schön - ich sollte auch dieses Formel-Dings-Da benutzen Augenzwinkern

Wie meinst Du das also mit?

Zitat:

Jetzt die erste Gleihucng benutzen und die quadratische Gleichung lösen.

Mein letzter fehlerfreier Stand war ja das Einsetzen des aus Glg 1 ermittelten 'x' in die Glg 2 (hier nochmal etwas schöner dargestellt):

$\begin{eqnarray*} a(g-y)^2 = by^2 \end{eqnarray*}$

bzw. mit den konkreten Zahlen:
$\begin{eqnarray*} 15 * (100-y)^2 = \frac{20}{3} * y^2 \end{eqnarray*}$

Wie gehts also von hier aus weiter? Ich komme einfach nicht drauf - versucht habe ich es schon (ich hab mindestens 2 A4-Seiten mit gekritzel gefüllt), aber die Ergebnisse, die ich erhalte sind einfach unsinnig. Und Lösungen habe ich dazu leider nicht.

Ich hoffe es schafft noch irgendjemand mir das zu erklären smile

Zwischenzeitlich nochmals lieben Dank!

Viele Grüsse

phoebe

12.04.2007, 18:30

tigerbine

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RE: Gleichungssystem - Textaufgabe
Aber damit hast du es doch schon. Und die Anleitung war: Löse die quadratische Gleichung.

$\begin{eqnarray*} 15 \cdot (100-y)^2 = \frac{20}{3} \cdot y^2 \end{eqnarray*}$

Binomische Formel, alles auf eine Seite bringen, Lösungsformel (abc, pq-Formel)

liefert 2 lösungen, nur eine macht Sinn bei der Aufgabe - fertig.

12.04.2007, 18:40

phoebe

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RE: Gleichungssystem - Textaufgabe
*g* ok, die Frage war schlecht gestellt, denn zusammengefasst lautet sie: ist diese Glg korrekt aufgestellt und wie löse ich diese quadratische Gleichung (ich hab vergessen wie sowas geht, weil es schon zu lang her ist).

=> die Antwort: "löse die quadr. Gleichung" hilft mir ergo nur bedingt weiter.
Entschuldige bitte, dass ich mich missverständlich ausgedrückt habe.

Ich habe versucht das ganze die allgemeine und dann in die normalisierte Form zu bringen (also Deine Stichworte abc und pq). Weil ich damit manuell auf nichts Gescheites gekommen bin, habe ich das Ganze dann mal in den Gleichungssolver hier auf der Seite eingegeben und als Resultat 2 _komplexe_ Lösungen erhalten. Aber das kann doch gar nicht sein. Es geht doch um Eier!!! Und wie deren Anzahl komplex sein soll ist mir einfach ein Rätsel.

Vielleicht ist das Problem jetzt deutlicher. Also ich habe entweder einen krassen Denkfehler drin oder aber ich habe mich irgendwo verrechnet.

Hoffentlich finde ich heute noch Erleuchtung Augenzwinkern

Liebe Grüsse

phoebe

12.04.2007, 18:53

tigerbine

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RE: Gleichungssystem - Textaufgabe
Dann sag doch: Ich weiß nicht wie man quadratische Gleichungen löst. smile

Vielleicht schreibst Du es mal Schritt für Schritt hier hin. Ich habe es schon ausgerechnet und da kommt eine (sinnvolle) Lösung raus-

$\begin{eqnarray*} 15 \cdot (100-y)^2 = \frac{20}{3} \cdot y^2 \end{eqnarray*}$

Auflösen der bin. Formel:

$\begin{eqnarray*} 15\cdot (100²-200y+y^2)=\frac{20}{3} \cdot y^2 \end{eqnarray*}$

Klammern auflösen:

$\begin{eqnarray*} 15\cdot 100^2 - 3000y + 15y^2=\frac{20}{3} \cdot y^2 \end{eqnarray*}$

Bruch beseitigen:

$\begin{eqnarray*} 45\cdot 100^2 - 9000y + 45y^2=20 \cdot y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 25y^2-9000y + 450000=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2-360y+18000=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt Lösungsformel anwenden.

13.04.2007, 00:46

phoebe

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RE: Gleichungssystem - Textaufgabe

Zitat:

Dann sag doch: Ich weiß nicht wie man quadratische Gleichungen löst.

Naja... theoretisch weiss ich's ja schon... nur irgendwie hats vorhin nicht geklappt. Ich habs jetzt nochmal durchgerechnet und zwar auch mit den Zahlwerten.

Resultat: Die eine Bäuerin hat 40 Eier, die andere 60. Gemäss Probe müsste das stimmen. Und Du hast natürlich recht: dieses Resultat ist schlüssig und liegt eindeutig nicht im komplexen Bereich *g*

Vorhin hab' ich (Depp) eben immer nur allgemein gerechnet, sprich alle Zahlen durch Parameter ersetzt. Ist so eine blöde Angewohnheit von mir. Und da hab ich dann wohl irgendwo einen Rechenfehler gemacht - den hab ich bis jetzt nicht gefunden. Aber immerhin war's kein grundsätzlicher Denkfehler und das Ganze ist jetzt schon viiiiiiel klarer! Ich war wirklich total verunsichert.

Jetzt muss ich mir nur nochmal ein paar solche Aufgaben suchen, damit das dann auch wirklich 100% sitzt.

Also: Ganz herzlichen Dank liebe Tigerbine!!!! Freude

Ich wünsche eine gute Nacht

Liebe Grüsse

phoebe

13.04.2007, 00:52

tigerbine

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RE: Gleichungssystem - Textaufgabe
Dein Ergebnis kann ich bestätigen Freude

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