Kreise und Geraden in der komplexen Ebene

12.04.2007, 18:20	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreise und Geraden in der komplexen Ebene Hi! Wir hatten dieses Thema in der letzten Vorlesung zur Funktionentheorie und ich habe da ein wenig Verständnisschwierigkeiten. Wir haben folgendes: Sei $\begin{eqnarray} a\in\mathbb C \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ die Kreislinie vom Radius $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ um $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Dann: $\begin{eqnarray} z\in K\Leftrightarrow~\|z-a\|=R~\Leftrightarrow~\|z-a\|^2=R^2~\Leftrightarrow~(z-a)(\overline{z}-\overline{a})=R^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z \overline{z}-a \overline{z}- \overline{a} z+a \overline{a}=R^2 \end{eqnarray}$ und durch geschickte Substitutionen erhielten wir $\begin{eqnarray} A(z+\overline{z})+iB(\overline{z}-z)+C(z\overline{z}-1)+D(z\overline{z}+1)=0 \end{eqnarray}$ Zusammenfassend wurde gesagt, dass sich somit alle Geraden und Kreise in der komplexen Ebene darstellen lassen, wenn $\begin{eqnarray} A^2+B^2+C^2-D^2>0,C+D\neq 0 \end{eqnarray}$ als Kreise und $\begin{eqnarray} A^2+B^2+C^2-D^2>0,C+D=0 \end{eqnarray}$ als Geraden. Kann mir das mal jemand erklären bitte? Hat nicht ein Kreis normalerweise die Form $\begin{eqnarray} (x-d)^2+(y-e)^2=r^2 \end{eqnarray}$ und eine Gerade $\begin{eqnarray} y=mx+n \end{eqnarray}$ Dann ging es um die stereographische Projektion. Dazu haben wir Transformationsformeln eingeführt und bewiesen. Was ist der Begriff des Kugelkreises? Ist das ein Kreis, der auf der Kugeloberfläche liegt? Aber müsste der dann nicht auch gekrümmt sein? Und was ist mit den Geraden - Kreise sind spezielle Geraden oder so ähnlich? Wie ist hier der Zusammenhang. Hab das leider noch nicht richtig verstanden! Hatten auch die Begriffe der Kreis- und Winkeltreue. Was mache ich denn konkret, wenn ich nun einen Kreis in der komplexen Ebene habe und den Radius und Mittelpunkt bestimmen soll? Konkretes Beispiel: $\begin{eqnarray} 5(z+\overline{z})+3i(\overline{z}-z)+(z\overline{z}-1)+2(z\overline{z}+1)=0 \end{eqnarray}$ Nutzen hier die Beziehungen $\begin{eqnarray} z+\overline{z}=2x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overline{z}-z=-2iy \end{eqnarray}$ etwas??? Was ist dann aber $\begin{eqnarray} z\overline{z} \end{eqnarray}$ ??? Der Betrag? Aber den kenne ich doch noch gar nicht. Oder: wie bestimme ich den Mittelpunkt des Kugelkreises, dem bei stereographischer Projektion der Kreis mit der Gleichung $\begin{eqnarray} 7(z+\overline{z})-i(\overline{z}-z)+2(z\overline{z}-1)+2(z\overline{z}+1)=0 \end{eqnarray}$ in der komplexen Ebene entpsricht? Ist es hier sinnvoll erstmal die Transformationsformeln anzuwenden? Dann erhalte ich $\begin{eqnarray} 7\xi-\eta+2\zeta=-2 \end{eqnarray}$ Was bringt mir das, oder ist der Ansatz komplett falsch? Vielen vielen Dank an alle die mir Licht in das Dunkle bringen - möchte das wirklich sehr gerne verstehen, wird auch sicherlich dann zum Schluß auch ganz einfach sein
12.04.2007, 19:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum stellst du so viele Fragen auf einmal? Du könntest im übrigen die Dinge auch einmal mit etwas mehr Selbstvertrauen und Eigeninitiative angehen. Warum nimmst du nicht einfach einmal ein Zahlenbeispiel, wo $\begin{eqnarray} C+D=0 \end{eqnarray}$ ist (diese Koeffizienten müssen wohl alle reell sein?), um zu sehen, daß mit $\begin{eqnarray} z = x + \operatorname{i}y \end{eqnarray}$ die Gleichung in die Form $\begin{eqnarray} \lambda x + \mu y = \nu \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda^2 + \mu^2 >0 \end{eqnarray}$ übergeht? Und dann hast du doch deine Gerade. Ähnlich kannst du dir die anderen Fragen selbst beantworten. Die stereographische Projektion kann auf mehrere Arten durchgeführt werden. Dazu Fragen zu stellen, ohne die Transformationsformeln mitzuteilen, ist daher nicht günstig. Aber wie gesagt: Eins nach dem anderen.
12.04.2007, 22:28	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Leopold für deine Antwort. Sorry für die vielen Fragen, von denen sich jetzt aber schon wieder einige aufgelöst haben. Hab vor lauter Panik alle Fragen erstmal reingestellt und dann erst in Ruhe nachgelesen und mal einfach stur nachgerechnet. Ich habe das glaube jetzt verstanden. Meine Idee wäre jetzt die folgende für die Bestimmung des Radius und des Mittelpunktes in der komplexen Ebene: Ich ersetze $\begin{eqnarray} z+\overline{z}=2x,~~~\overline{z}-z=-2iy,~~~z=x+iy,~x,y\in\mathbb R,~~~z\overline{z}=x^2+y^2 \end{eqnarray}$ und erhalte dann für die angegebene erste Gleichung $\begin{eqnarray} 10x+6y+(x^2+y^2-1)+2(x^2+y^2+1)=0 \end{eqnarray}$ Die habe ich mittels quadratische Ergänzung gelöst und eine Kreisgleichung erhalten deren Mittelpunkt und Radius nun einfach bestimmt werden kann. Ist $\begin{eqnarray} M(-\frac{5}{3}/-1),~~~R=\sqrt{\frac{31}{9}} \end{eqnarray}$ richtig??? Deshalb habe ich jetzt auch den Zusammenhang der ganzen Notation von oben verstanden Bei der letzten Aufgabe: Meine Idee wäre, dass ich wie eben eine Kreisgleichung habe und deren Normalenform in der Gestalt $\begin{eqnarray} x^2+y^2=r^2 \end{eqnarray}$ bestimme und den Mittelpunkt angebe. Dann kann ich doch eine Geradengleichung angeben, dessen Gerade durch den Nordpol und den Mittelpunkt des Kreises geht. Der Durchstoßpunkt der Einheitskugel ist doch dann mein Mittelpunkt des Kugelkreises, oder Freu mich auf eure Antworten und vielen Dank

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